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18.如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=15$\sqrt{2}$,点M、N在边BC上,且∠MAN=45°,CN=5,MN=13.

分析 由等腰直角三角形的性质得出∠ABC=∠C=45°,BC=$\sqrt{2}$AB=30,把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD,由旋转的性质得出∠ABD=∠C=45°,BD=CN=5,∠DAN=90°,AD=AN,求出∠DBM=90°,证出∠MAD=∠MAN,由SAS证明△AMD≌△AMN,得出MD=MN,设MD=MN=x,则BM=BC-MN-CN=25-x,在Rt△DBM中,由勾股定理得出方程,解方程即可.

解答 解:∵等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=15$\sqrt{2}$,
∴∠ABC=∠C=45°,BC=$\sqrt{2}$AB=30,
把△ACN绕点A顺时针旋转90°得到△ABD,连接MD,如图所示:
则∠ABD=∠C=45°,BD=CN=5,∠DAN=90°,AD=AN,
∴∠DBM=45°+45°=90°,
∵∠MAN=45°,
∴∠MAD=90°-45°=45°,
∴∠MAD=∠MAN,
在△AMD和△AMN中,$\left\{\begin{array}{l}{AD=AN}&{\;}\\{∠MAD=∠MAN}&{\;}\\{AB=AC}&{\;}\end{array}\right.$,
∴△AMD≌△AMN(SAS),
∴MD=MN,
设MD=MN=x,
则BM=BC-MN-CN=25-x,
在Rt△DBM中,由勾股定理得:BD2+BM2=MD2
即52+(25-x)2=x2,解得:x=13,
∴MN=13;
故答案为:13.

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质,题目的综合性较强,难度较大,解题的关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.

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