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(2009•湖州)如图,在等边△ABC中,D、E、F分别是BC,AC,AB上的点,且DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,则△DEF与△ABC的面积之比等于( )

A.1:3
B.2:3
C.:2
D.:3
【答案】分析:三角形的面积=×高×底,所以相似三角形的面积之比等于边之比的平方,由DE⊥AC,EF⊥AB,FC⊥BC得出△DEF与△ABC的角对应相等,即:△DEF∽△CAB,求出两个三角形的边之比即可,又知△ABC是正三角形,所以∠B=∠C=∠A=60°,利用余弦和正弦定理求出两个三角形的边之比.
解答:解:∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴∠C+∠EDC=90°,∠FDE+∠EDC=90°,
∴∠C=∠FDE
同理可得:∠B=∠DFE,∠A=DEF,
∴△DEF∽△CAB,
∴△DEF与△ABC的面积之比=(2
又∵△ABC为正三角形,
∴∠B=∠C=∠A=60°,△EFD是等边三角形,
∴EF=DE=DF,
又∵DE⊥AC,EF⊥AB,FD⊥BC,
∴△AEF≌△CDE≌△BFD,
∴BF=AE=CD,AF=BD=EC,
在Rt△DEC中,
DE=DC×sin∠C=DC,EC=cos∠C×DC=DC,
又∵DC+BD=BC=AC=DC,
==
∴△DEF与△ABC的面积之比等于:(2==1:3.
故选:A.
点评:本题主要考查如何求三角形的面积之比,若能证出两个三角形是相似三角形,此时三角形的面积之比等于对应边之比的平方,只要求出对应边比即可.
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C.
D.

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