Question

如图1，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C（0，2），此抛物线的对称轴为直线x=2，点A的坐标为（1，0）．
（1）求B点坐标以及△ABC的面积；
（2）求抛物线的解析式；
（3）过点C作x轴的平行线交此抛物线的对称轴于点D，你能判断四边形ABDC是什么四边形吗？并证明你的结论；
（4）若一个动点P自OC的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点C，求使点P运动的总路径（ME+EF+FC）最短的点E、F的坐标，并求出这个最短总路径的长．

Answer 1

解：（1）B（3，0），S=2．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x-1）（x-3），
则有2=a（0-1）（0-3），a=
∴y=x²-x+2．

（3）平行四边形（理由：AB∥CD，AB=CD=2）

（4）做C点关于直线x=2的对称点C′，做M点关于x轴的对称点M′，连接C′M′．
则E、F分别为直线C′M′与x轴和抛物线对称轴的交点．
则有C′（4，2），M′（0，-1）；最短长度=C'M'=5，
设直线C′M′的解析式为y=kx-1，
有：2k-1=2，k=
∴y=x-1
∴E（，0），F（2，）．
分析：（1）已知了抛物线的对称轴x=2，点A的坐标为（1，0）因此点B（3，0）．AB=2，已知了OC=2，则S_△ABC=AB•OC=2．
（2）已知了A、B、C三点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）是平行四边形，由于CD∥AB，证AB=CD即可．
（4）本题可根据两点之间线段最短和轴对称的性质来求解．
可做C点关于直线x=2的对称点C′，做M点关于x轴的对称点M′，连接C′M′．那么E、F就是直线C′M′与x轴和抛物线对称轴的交点，可先求出直线C′M′的解析式，进而可求出E、F的坐标．
点评：本题考查了抛物线解析式的确定、平行四边形的性质等知识点．