Question

7．已知△ABC，请按以下要求完成本题：
（1）请作出△ABC的内切圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）；
（2）若在△ABC中，∠B=70°，连接OA、OC，求∠AOC的度数．

Answer 1

分析 （1）分别作∠BAC和∠BCA的平分线，它们相交于点O，再过点O作OH⊥AC于H，然后以O点为圆心，OH为半径作圆即可；
（2）先利用作法得到∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA，再利用三角形内角和定理得到∠AOC=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA），且∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°，所以∠AOC=125°．

解答 解：（1）如图：

（2）∵OA平分∠BAC，OC平分∠BCA，
∴∠OAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，∠OCA=$\frac{1}{2}$∠BCA，
∴∠AOC=180°-∠OAC-∠OCA=180°-$\frac{1}{2}$（∠BAC+∠BCA），
∵∠B=70°，
∴∠BAC+∠BCA=180°-∠B=110°，
∴∠AOC=180°-$\frac{1}{2}$×110°=125°．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了三角形的内心．