Question

17．如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，A是$\widehat{BDC}$的中点，AE⊥AC于A，与⊙O及CB的延长线分别交于点F、E，且$\widehat{BF}$=$\widehat{AD}$．
（1）求证：△ADC∽△EBA；
（2）求证：AC²=$\frac{1}{2}$BC•CE；
（3）如果AB=2，EB•EC=9，求tan∠CAD的值．

Answer 1

分析 （1）欲证（1）△ADC∽△EBA，只要证明两个角对应相等就可以．可以转化为证明$\widehat{BF}$=$\widehat{AD}$就可以；
（2）过A作AH⊥BC于H，根据射影定理就可以得到结论．
（3）A是$\widehat{BDC}$的中点，则AC=AB=2，根据AC²=$\frac{1}{2}$BC•CE得出BC•CE的值，再由△CAD∽△ABE就可以求出结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠CDA=∠ABE．
∵$\widehat{BF}$=$\widehat{AD}$，
∴∠DCA=∠BAE．
∴△ADC∽△EBA；

（2）证明：过A作AH⊥BC于H（如图），
∵A是$\widehat{BDC}$的中点，
∴AB=AC，
又∵AH⊥BC于H，
∴HC=HB=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠CAE=90°，
∵AH⊥BC，
∴∠AHC=∠AHB=90°，
∴△ACH∽△AEC，
∴$\frac{AC}{HC}$=$\frac{CE}{AC}$，即AC²=HC•CE，
又∵BC=2CH，
∴AC²=CH•CE=$\frac{1}{2}$BC•CE；

（3）解：∵A是$\widehat{BDC}$中点，AB=2，
∴AC=AB=2．
∵EB•EC=9①
∵AC²=$\frac{1}{2}$BC•CE，
∴BC•CE=8②
联立①②得：EC（EB+BC）=17．
∴EC²=17．
∵EC²=AC²+AE²，
∴AE=$\sqrt{17-{2}^{2}}$，
∵△CAD∽△ABE，
∴∠CAD=∠AEC．
∴tan∠CAD=tan∠AEC=$\frac{AC}{AE}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查的是圆的综合题，涉及到弧、弦的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质等知识，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．