Question

（1）如图：靠着22m的房屋后墙，围一块150m²的矩形鸡场，现在有篱笆共40m．求矩形的长、宽各多少米？
（2）若把“围一块150m²的矩形鸡场”改为“围一块Sm²的矩形鸡场”其它条件不变，能否使S最大．若能，请你求出此时矩形的长、宽及最大面积；若不能，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）设矩形与墙垂直的边为xm，根据矩形的面积公式得到x（40-2x）=150，整理得x²-20x+75=0，利用因式分解法解方程得到x₁=15，x₂=5，再分别计算出另一边40-2x，然后根据后墙为22米确定答案；
（2）设矩形与墙垂直的边为xm，根据矩形的面积公式得到S=x（40-2x），配方得到-2（x-10）²+200，由于a=-2＜0，根据二次函数的性质得到x=10时，S有最大值，其最大值为200，则40-2x=20．

解答：解：（1）设矩形与墙垂直的边为xm，根据题意得
x（40-2x）=150，
整理得x²-20x+75=0，
即（x-15）（x-5）=0，
∴x₁=15，x₂=5，
当x₁=15时，40-2x=10＜20，符合题意，
当x₁=5时，40-2x=30＞20，不符合题意，舍去，
答：矩形地的长、宽分别为15米、10米；

（2）能使S最大．理由如下：
设矩形与墙垂直的边为xm，根据题意得
S=x（40-2x）=-2（x²-20x）=-2（x-10）²+200，
∵a=-2＜0，
∴当x=10时，S有最大值，其最大值为200，
此时40-2x=20．
答：矩形地的长、宽分别为20米、10米．S最大值为200 m²．

点评：本题考查了二次函数的应用：根据实际问题列出二次函数关系式，然后根据二次函数的最值问题确定实际问题中的最大值或最小值．也考查了一元二次方程的应用．