Question

21、如图，E、F是对角线BD上的两点，给出下列三个条件：（1）BE=DF；（2）∠AEB=∠DFC；（3）AF∥EC．请你从中选择一个条件，能使四边形AECF是平行四边形的选法有

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种，请选择一种加以证明．

Answer 1

分析：本题是开放题，可以针对各种特殊的平行四边形的判定方法，给出条件，再证明结论．答案可以有多种，主要条件明确，说法有理即可．
（1）BE=DF，要证明四边形AECF是平行四边形，可利用“对角线互相平分的四边形“来判定．连接AE，与BD交于点O．
已知四边形ABCD是平行四边形，得到OA=OC，OB=OD；因为BE=DF，OB=BE+OE，OD=DF+OF，所以OE=OF；因为OA=OC，OE=OF，利用“对角线互相平分的四边形“来判定四边形AECF是平行四边形．
（2）∠AEB=∠DFC，要证明四边形AECF是平行四边形，可利用“对边平行且相等的四边形“来判定．证AE∥CF，由已知可得；而AE=CF，四边形ABCD是平行四边形得出AB=CD，∠ABE=∠CDF
因∠AEB=∠DFC，所以△ABE≌△CDF（AAS），所以AE=CF
（3）AF∥EC，要证明四边形AECF是平行四边形，可利用“对边平行且相等的四边形“来判定．只需证AF=EC；因AF∥EC得出∠AFB=∠CED所以∠AFD=∠CEB，因此四边形ABCD是平行四边形推出AD=BC，∠ADF=∠CBE，△ADF≌△CBE（AAS）

解答：解：请你从中选择一个条件，能使四边形AECF是平行四边形的选法有3种，
（1）BE=DF
连接AE，与BD交于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴OA=OC，OB=OD
∵OB=BE+OE，OD=DF+OF
又∵BE=DF
∴OE=OF
∵OA=OC
∴四边形AECF是平行四边形

（2）∠AEB=∠DFC
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB=CD，∠ABE=∠CDF
∵∠AEB=∠DFC
∴△ABE≌△CDF（AAS）
∴AE=CF
∵∠AEB=∠DFC
∴∠AEF=∠CFE
∴AE∥CF
∵AE=CF
∴四边形AECF是平行四边形

（3）AF∥EC
∵AF∥EC
∴∠AFB=∠CED
∴∠AFD=∠CEB
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD=BC，∠ADF=∠CBE
∴△ADF≌△CBE（AAS）
∴AF=EC
∵AF∥EC
∴四边形AECF是平行四边形

点评：本题考查了平行四边形的判定，平行四边形的五种判定方法分别是：（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．