Question

19．如图，在⊙O中，弧DC=弧DN，点P为⊙O上一点，过D作CN的平行线交PN，PC的延长线于A，B，过P作PM∥AB交DC的延长线于M．
（1）求证：AB为⊙O切线；
（2）①若PN=3AN，求$\frac{PD}{DM}$的值；
②若PN=mAN（m＞0），猜想$\frac{PD}{DM}$的值．（用含m的代数式表示，直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）由$\widehat{DC}=\widehat{DN}$，得到OD⊥CN，再由AB∥CN即可，
（2）先判断出△DCP∽△DPM，得到$\frac{PD}{DM}=\frac{CD}{DP}$，再判断出△ADN∽△APD，得出AD=2AN，$\frac{AN}{AD}$=$\frac{DN}{PD}$即可；
（3）先判断出△DCP∽△DPM，得到$\frac{PD}{DM}=\frac{CD}{DP}$，再判断出△ADN∽△APD，得出AD=$\sqrt{m+1}$AN，$\frac{AN}{AD}$=$\frac{DN}{PD}$即可；

解答 （1）证明：如图，

连接OD，
∵$\widehat{DC}=\widehat{DN}$，
∴OD⊥CN，
∵AB∥CN
∴OD⊥AB，
∵点D在⊙O上，
∴AB为⊙O切线．
（2）如图，

连接DN，
∵$\widehat{DC}=\widehat{DN}$，
∴∠DCN=∠CPD，CD=DN
∵PM∥AB，CN∥AB，
∴CN∥MP，
∴∠DCN=∠M，
∴∠DPC=∠M，
∵∠CDP=∠PDM，
∴△DCP∽△DPM，
∴$\frac{PD}{DM}=\frac{CD}{DP}$
∵∠DAN=∠PAD，∠ADN=∠APD，
∴△ADN∽△APD，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AN}{AD}$=$\frac{DN}{PD}$，
∵PN=3AN，
∴AP=4AN，
∴AD²=AP×AN=4AN×AN，
∴AD=2AN，
∵$\frac{AN}{AD}=\frac{DN}{PD}=\frac{CD}{PD}=\frac{1}{2}$，
∴$\frac{PD}{DM}=\frac{1}{2}$；
（3）如图，

猜想$\frac{PD}{DM}$=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$，
理由：连接DN，
∵$\widehat{DC}=\widehat{DN}$，
∴∠DCN=∠CPD，DN=CD
∵PM∥AB，CN∥AB，
∴CN∥MP，
∴∠DCN=∠M，
∴∠DPC=∠M，
∵∠CDP=∠PDM，
∴△DCP∽△DPM，
∴$\frac{PD}{DM}=\frac{CD}{DP}$
∵∠DAN=∠PAD，∠ADN=∠APD，
∴△ADN∽△APD，
∴$\frac{AD}{AP}$=$\frac{AN}{AD}$，
∵PN=mAN，
∴AP=（m+1）AN，
∴AD²=AP×AN=（m+1）AN×AN，
∴AD=$\sqrt{m+1}$AN，
∵$\frac{AN}{AD}$=$\frac{DN}{PD}$=$\frac{CD}{PD}$=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$，
∴$\frac{PD}{DM}$=$\frac{1}{\sqrt{m+1}}$．

点评 此题是圆综合题，主要考查了垂径定理，相似三角形的性质和判定，切线的判定定理，解本题的关键是判断三角形相似．