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    2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD=DC，AB=6，AD=8，点P、Q分别为BC、AD上的动点，连接PQ，与BD相交于点O，
    （1）当∠1=∠2时，求证：∠DOQ=∠DPC；
    （2）在（1）的条件下，求证：DQ•PC=BD•DO；
    （3）如果点P由点B向点C移动，每秒移动2个单位，同时点Q由点D向点A移动，每秒移动1个单位，设移动的时间为t秒，是否存在某以时刻，使得△BOP为直角三角形？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

    分析 （1）根据相似三角形的判定定理证明△DOP∽△DPB，得到∠DOP=∠DPB，根据邻补角的性质证明结论；
    （2）证明△DOQ∽△CPD，根据相似三角形的对应边成比例证明结论；
    （3）分①∠BPO=90°和②∠POB=90°两种情况，根据矩形的性质和相似三角形的性质计算即可．

    解答 （1）证明：∵∠PDO=∠BDP，∠1=∠2，
    ∴△DOP∽△DPB，
    ∴∠DOP=∠DPB，
    ∵∠DOQ+∠DOP=∠DPC+∠DPB，
    ∴∠DOQ=∠DPC；
    （2）证明：∵AD∥BC，
    ∴∠ADO=∠1，
    ∵BD=DC，
    ∴∠1=∠C，
    ∴∠ADO=∠C，
    又∵∠DOQ=∠DPC，
    ∴△DOQ∽△CPD，
    ∴$\frac{DQ}{CD}$=$\frac{DO}{PC}$，
    ∵BD=DC，
    ∴$\frac{DQ}{BD}$=$\frac{DO}{PC}$，
    ∴DQ•PC=BD•DO；
    （3）存在，
    ①如图1，当∠BPO=90°时，
    ∵BP=2t，DQ=t，
    ∴AQ=8-t
    ∵此时AQ=BP
    ∴8-t=2t
    ∴$t=\frac{8}{3}$；
    ②如图2，当∠POB=90°时，
    ∵△DOQ∽△BOP
    ∴$\frac{DO}{BO}=\frac{DQ}{BP}=\frac{t}{2t}=\frac{1}{2}$
    ∵AB=6，AD=8，
    ∴BD=10，
    ∴DO=$\frac{10}{3}$
    ∵△DOQ∽△DBA，
    ∴$\frac{DO}{DA}$=$\frac{DQ}{DB}$，
    ∴$\frac{{\frac{10}{3}}}{8}=\frac{t}{10}$，
    ∴$t=\frac{25}{6}$．
    综上所述，当$t=\frac{8}{3}$秒或$t=\frac{25}{6}$秒时，
    △BOP为直角三角形．

    点评 本题考查的是相似三角形的判定和性质，灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理、正确运用分情况讨论思想是解题的关键．

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    （1）点P从点B运动到点O所需的时间为2（s）；
    当点P在线段OE上运动时，线段OP的长为t-2（用含t的代数式表示）；
    （2）当点N落在AB边上时，则t的值为3或$\frac{14}{3}$；
    （3）设矩形PQMN与△BOC重叠部分的面积为S（cm2），请直接写出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
    （4）在点P、O重合之前的整个运动过程中，作矩形PQMN关于直线PQ的轴对称图形PQM′N′，取CO中点K，是否存在某一时刻，使△PN′K为等腰三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

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    导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．
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