Question

【题目】如图，已知抛物线与y轴相交于点A（0，3），与x正半轴相交于点B，对称轴是直线x=1．

（1）求此抛物线的解析式以及点B的坐标．

（2）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向运动，同时动点N从点O出发，以每秒3个单位长度的速度沿y轴正方向运动，当N点到达A点时，M、N同时停止运动．过动点M作x轴的垂线交线段AB于点Q，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．

①当t为何值时，四边形OMPN为矩形．

②当t＞0时，△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），B点坐标为（3，0）；（2）①；②．

【解析】

（1）由对称轴公式可求得b，由A点坐标可求得c，则可求得抛物线解析式；再令y=0可求得B点坐标；

（2）①用t可表示出ON和OM，则可表示出P点坐标，即可表示出PM的长，由矩形的性质可得ON=PM，可得到关于t的方程，可求得t的值；②由题意可知OB=OA，故当△BOQ为等腰三角形时，只能有OB=BQ或OQ=BQ，用t可表示出Q点的坐标，则可表示出OQ和BQ的长，分别得到关于t的方程，可求得t的值．

（1）∵抛物线对称轴是直线x=1，

∴﹣=1，解得b=2，

∵抛物线过A（0，3），

∴c=3，

∴抛物线解析式为，令y=0可得，解得x=﹣1或x=3，

∴B点坐标为（3，0）；

（2）①由题意可知ON=3t，OM=2t，

∵P在抛物线上，

∴P（2t，），

∵四边形OMPN为矩形，

∴ON=PM，

∴3t=，解得t=1或t=﹣（舍去），

∴当t的值为1时，四边形OMPN为矩形；

②∵A（0，3），B（3，0），

∴OA=OB=3，且可求得直线AB解析式为y=﹣x+3，

∴当t＞0时，OQ≠OB，

∴当△BOQ为等腰三角形时，有OB=QB或OQ=BQ两种情况，由题意可知OM=2t，

∴Q（2t，﹣2t+3），

∴OQ=，BQ=|2t﹣3|，又由题意可知0＜t＜1，当OB=QB时，则有|2t﹣3|=3，解得t=（舍去）或t=；

当OQ=BQ时，则有=|2t﹣3|，解得t=；

综上可知当t的值为或时，△BOQ为等腰三角形．