Question

5．已知抛物线y=ax²-2ax+4（a＞0）与y轴交于点C．
（1）若抛物线经过一定点，直接写出该点的坐标；
（2）若直线y=kx-a与抛物线交于A、B两点，直线AC与BC分别交x轴于点D、E，当CD=CE时，求证：直线y=kx-a经过定点Q，并求出点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）将x=0代入可得定点（0，4）；
（2）先设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），因为A、B是两函数的交点，列方程组可得两函数的交点，即$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-a}\\{y=a{x}^{2}-2ax+4}\end{array}\right.$，则ax²-2ax+4=kx-a，由根据与系数的关系得：x₁+x₂=$\frac{2a+k}{a}$=2+$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=$\frac{4+a}{a}$=1+$\frac{4}{a}$，分别求AC和BC的解析式，并表示与x轴交点D和E的坐标，由CD=CE，列方程得：$（\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}）^{2}+{4}^{2}$=$（\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}）^{2}+{4}^{2}$，化简得：k=2a，将x=$\frac{1}{2}$代入可得定点Q的坐标．

解答 解：（1）当x=0时，y=ax²-2ax+4=4，
∴点C的坐标为（0，4），
∴抛物线经过定点（0，4）．
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx-a}\\{y=a{x}^{2}-2ax+4}\end{array}\right.$，
ax²-2ax+4=kx-a，
ax²-（2a+k）x+4+a=0，
x₁+x₂=$\frac{2a+k}{a}$=2+$\frac{k}{a}$，x₁•x₂=$\frac{4+a}{a}$=1+$\frac{4}{a}$，
①直线AC的解析式为：y=k₁x+4，
把设A（x₁，y₁）代入得：k₁=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}$，
∴y=$\frac{{y}_{1}-4}{{x}_{1}}$x+4，
与x轴交点：当y=0时，x=$\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}$，
∴D（$\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}$，0），
②直线BC的解析式为：y=k₂x+4，
把B（x₂，y₂）代入得：k₂=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}$，
∴y=$\frac{{y}_{2}-4}{{x}_{2}}$x+4，
与x轴交点：当y=0时，x=$\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}$，
∴D（$\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}$，0），
∵CD=CE，
∴$（\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}）^{2}+{4}^{2}$=$（\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}）^{2}+{4}^{2}$，
即$\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}$=±$\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}$，
∵A、B相异，
∴$\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}$=-$\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}$，
∴$\frac{4{x}_{1}}{4-{y}_{1}}$+$\frac{4{x}_{2}}{4-{y}_{2}}$=0，
∴4x₁（4-y₂）+4x₂（4-y₁）=0，
16x₁-4x₁y₂+16x₂-4x₂y₁=0，
16（x₁+x₂）-4x₁（kx₂-a）-4x₂（kx₁-a）=0，
16（2+$\frac{k}{a}$）-4kx₁x₂-4kx₁x₂+4ax₁+4ax₂=0，
32+$\frac{16k}{a}$-8k（1+$\frac{4}{a}$）+4a（2+$\frac{k}{a}$）=0，
32+$\frac{16k}{a}$-8k-$\frac{32k}{a}$+8a+4k=0，
32+8a=$\frac{16k}{a}$+4k，
32a+8a²=16k+4ak，
2a（16+4a）=k（16+4a），
∴k=2a，
∴y=kx-a=2ax-a，
当a=$\frac{1}{2}$时，y=0，
∴直线y=kx-a经过定点Q，点Q的坐标为（$\frac{1}{2}$，0）．

点评 本题考查了带字母系数的函数过定点问题，还考查了待定系数法、与坐标轴的交点、两点距离公式，计算量大，有难度，第二问利用直线AC和BC的解析式求D和E的坐标是关键．