Question

如图，已知点C在线段AB上，以AC和CB为边，在AB的同侧分别作正三角形△AMC和△CNB，连接AN和BM分别交MC、NC于P、G．
（1）求证：△MCB≌△ACN；
（2）猜想PG和AB的位置关系是怎样的？并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由△AMC和△CNB都为等边三角形，可得出AC=MC，CB=CN，且∠ACM=∠MCB=60°，利用等式的性质得到一对角相等，再利用SAS可得出△MCB≌△ACN；
（2）PG和AB的位置关系是垂直，理由为：由△MCB≌△ACN，得到∠ANC=∠MBC，再由∠ACM=∠MCB=60°，利用平角的定义得到∠PCN=∠GCB=60°，再由CN=CB，利用ASA可得出△PCN≌△GCB，利用全等三角形的对应边相等得到PC=PG，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△PCG为等边三角形，利用等边三角形的性质得到∠PGC=60°，进而得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得出PG与AB平行，得证．

解答：（1）证明：∵△AMC和△CNB都为等边三角形，
∴AC=MC，CN=CB，∠ACM=∠MCB=60°，
∴∠ACM+∠MCN=∠MCB+∠MCN，即∠ACN=∠MCB，
在△ACN和△MCB中，
∵

AC=MC ∠ACN=∠MCB CN=CB

，
∴△ACN≌△MCB（SAS）；

（2）解：PG∥AB．
证明：∵△ACN≌△MCB，
∴∠ANC=∠MBC，
∵∠ACM=∠MCB=60°，
∴∠PCN=∠GCB=60°，
在△PCN和△GCB中，
∵

∠PNC=∠GBC NC=BC ∠PCN=∠GCB

，
∴△PCN≌△GCB（ASA），
∴CP=CG，
∴△PCG为等边三角形，
∴∠PGC=60°，又∠NCB=60°，
∴∠PGC=∠NCB，
∴PG∥AB．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．