Question

3．如图，已知AB∥EF∥CD，若AB=a，CD=b，EF=c，求证：$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$．

Answer 1

分析 根据AB∥EF∥CD，于是得到△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质得到$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$，两式相加得到$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}$=1，于是得到结论．

解答 解：∵AB∥EF∥CD，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴$\frac{EF}{AB}=\frac{DF}{BD}$，$\frac{EF}{CD}=\frac{BF}{BD}$，
∴$\frac{EF}{AB}+\frac{EF}{CD}=\frac{DF}{BD}+\frac{BF}{BD}$=1，
∴$\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{EF}$，
∵AB=a，CD=b，EF=c，
∴$\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．