Question

10．如图，在四边形ABCD中，AD=AB，DC=BC，∠DAB=60°，∠DCB=120°，E是AD上一点，F是AB延长线上一点，且DE=BF．
（1）求证：CE=CF；
（2）若G在AB上且∠ECG=60°，试猜想DE，EG，BG之问的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）通过角的计算得出∠D=∠CBF，证出△CDE≌△CBF（SAS），由此即可得出CE=CF；
（2）连接AC，结合AC=AB、DC=BC即可证出△ABC≌△ADC，由此即可得出∠BCA=∠DCA=60°，再根据∠ECG=60°即可得出∠DCE=∠ACG，∠ACE=∠BCG，由（1）可知△CDE≌△CBF，进而得知∠DCE=∠BCF，根据角的计算即可得出∠ECG=∠FCG，结合DE=DF即可证出△CEG≌△CFG，即得出EG=FG，由相等的边与边之间的关系即可证出DE+BG=EG．

解答 （1）证明：∵∠D+∠DAB+∠ABC+∠DCB=360°，∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠D+∠ABC=360°-60°-120°=180°．
又∵∠CBF+∠ABC=180°，
∴∠D=∠CBF．
在△CDE和△CBF中，$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}&{\;}\\{∠D=∠CBF}&{\;}\\{DE=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CDE≌△CBF（SAS）．
∴CE=CF．
（2）解：猜想DE、EG、BG之间的数量关系为：DE+BG=EG．理由如下：
连接AC，如图所示．
在△ABC和△ADC中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}&{\;}\\{BC=DC}&{\;}\\{AC=AC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△ADC（SSS），
∴∠BCA=∠DCA=$\frac{1}{2}$∠DCB=$\frac{1}{2}$×120°=60°．
又∵∠ECG=60°，
∴∠DCE=∠ACG，∠ACE=∠BCG．
由（1）可得：△CDE≌△BDF，
∴∠DCE=∠BCF．
∴∠BCG+∠BCF=60°，即∠FCG=60°．
∴∠ECG=∠FCG．
在△CEG和△CFG中，$\left\{\begin{array}{l}{CE=CF}&{\;}\\{∠ECG=∠FCG}&{\;}\\{CG=CG}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CEG≌△CFG（SAS），
∴EG=FG．
又∵DE=BF，FG=BF+BG，
∴DE+BG=EG．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、四边形内角和定理以及角的计算；根据全等三角形的性质找出相等的边角关系是关键．