如图①.矩形OABC的边OA.OC分别在坐标轴上.点B在第二象限.且点B的横.纵坐标是一元二次方程m2+m-12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠.使点C落在AB边上的点F处.点E在CO边上．.F,(2)如图②.若△BCE从该位置开始.以固定的速度沿x轴水平向右移动.直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′.△B′C′E′与四边形OABE重叠部� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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13．如图①，矩形OABC的边OA、OC分别在坐标轴上，点B在第二象限，且点B的横、纵坐标是一元二次方程m²+m-12=0的两个实数根．把矩形OABC沿直线BE折叠，使点C落在AB边上的点F处，点E在CO边上．
（1）直接填空：B（-4，3），F（-1，3）；
（2）如图②，若△BCE从该位置开始，以固定的速度沿x轴水平向右移动，直到点C与原点O重合时停止．记△BCE平移后为△B′C′E′，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分的面积为S，请求出面积S与平移距离t之间的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）如图③，设点G为EF中点，若点M在直线CG上，点N在y轴上，是否存在这样的点M，使得以M、N、B、G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

分析（1）先解方程，根据点B的坐标特点写出B（-4，3），再根据折叠的性质得出点F的坐标；
（2）分三种情况进行讨论：当0≤t≤1时，重叠部分面积S就是四边形B′GEE′的面积，利用面积差来求；当1＜t＜4时，重叠部分面积S就是梯形OGB′C′的面积，可以直接求，也可以利用差求；当t=4时，S=0；
（3）存在，如图④⑤⑥，点M就是直线MG和直线MN的交点，求解析式，再列方程组求解即可．

解答解：（1）如图①，m²+m-12=0，
（m-3）（m+4）=0，
m₁=3，m₂=-4，
∴B（-4，3），
则F（-1，3），
故答案为：（-4，3），（-1，3）；
（2）当E′与O重合时，EO=EE′=4-3=1，这时t=1，如图②，
当0≤t≤1时，△B′C′E′与四边形OABE重叠部分是四边形B′GEE′，
由平移得：BB′=EE′，BE∥BE′，
∵BB′∥EE′，
∴四边形B′BEE′是平行四边形，
∵BC=EC=3，∠BCE=90°，
∴∠CBE=45°，
∴∠EBB′=∠CBE=45°，
∴△BGB′是等腰直角三角形，
∴S=S_?BEE′B′-S_△BGB′=EE′•BC-$\frac{1}{2}$×BB′×B′G=3t-$\frac{1}{2}{t}^{2}$=-$\frac{1}{2}{t}^{2}+3t$；
当1＜t＜4时，如图③，
OC′=4-t，
∴OE′=C′E′-OC′=3-（4-t）=t-1，
∵OG∥B′C′，
∴$\frac{OG}{B′C′}$=$\frac{OE′}{C′E′}$，
∴$\frac{OG}{3}=\frac{t-1}{3}$，
∴OG=t-1，
∴S=S_{△B′C′E′}-S_△GOE′=$\frac{9}{2}$-$\frac{1}{2}$（t-1）²=-$\frac{1}{2}$t²+t+4；
当t=4时，点C与O重合，这时S=0；
综上所述，S与平移距离t之间的函数关系式为：
S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{t}^{2}+3t（0≤t≤1）}\\{-\frac{1}{2}{t}^{2}+t+4（1＜t≤4）}\end{array}\right.$；

（3）存在，如图④，点N在y轴正半轴时，
设MG的解析式为：y=kx+b，
把C（-4，0），G（-1，1.5）代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=1.5}\\{-4k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=0.5}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴MG：y=0.5x+2，
∴H（0，2），
∵四边形MNBG是平行四边形，
∴BN∥MG，
∴设BN的解析式为：y=0.5x+n，
把B（-4，3）代入得：n=5，
∴BN：y=0.5x+5，
∴N（0，5），
同理得BG：y=-0.5x+1，
∵MN∥BG，
∴MN：y=-0.5x+5，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=-0.5x+5}\\{y=0.5x+2}\end{array}\right.$ 解得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3.5}\end{array}\right.$，
∴M（3，3.5）．
如图⑤，点N在y轴负半轴时，
CG：y=0.5x+2，
∴设M（a，0.5a+2），
BG：y=-0.5x+1，则设MN：y=-0.5x+b，N（0，b），
∴3-（0.5a+2）=1.5-b，
-0.5a+b=0.5①，
把M（a，0.5a+2）代入MN中，0.5a+2=-0.5a+b，
a-b=-2②，
由①②得：a=-3，b=-1，
∴M（-3，0.5），
如图⑥，当BG为对角线时，G（-1，$\frac{3}{2}$），
∴EG=$\frac{3}{2}$，
过M作MP⊥BC于P，过G作GQ⊥y轴于Q，
易得△BMP≌△NGQ，
∴MP=GQ=1，
∵CE∥MP，
∴∠GCE=∠CMP，
∴tan∠GCE=tan∠CMP=$\frac{EG}{CE}=\frac{CP}{PM}$=$\frac{\frac{3}{2}}{3}$=$\frac{1}{2}$，
∴CP=$\frac{1}{2}$，
∴M（-5，-$\frac{1}{2}$），
综上所述：符合条件的点M的坐标为（3，3.5）、（-3，0.5）、（-5，-$\frac{1}{2}$）．

点评本题是四边形的综合题，综合考查出矩形、平行四边形、等腰直角三角形折叠的性质，与点的坐标和一次函数相结合，同时又运用了三角形的面积和解一元二次方程，知识点较多；运用了数形结合和分类讨论的思想，使问题得以解决，同时还要注意本题中的t是平移的距离，不是时间t．

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