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    如图1，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=5，BC=11．一个动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段BC方向运动，过点P作PQ⊥BC，交折线段BA-AD于点Q，以PQ为边向右作正方形PQMN，点N在射线BC上，当Q点到达D点时，运动结束．设点P的运动时间为t秒（t＞0）．
    （1）当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，求运动时间t的值；
    （2）在整个运动过程中，设正方形PQMN与△BCD的重合部分面积为S，请直接写出S与t之间的函数关系式和相应的自变量t的取值范围；
    （3）如图2，当点Q在线段AD上运动时，线段PQ与对角线BD交于点E，将△DEQ沿BD翻折，得到△DEF，连接PF．是否存在这样的t，使△PEF是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，可以得出四边形AGHD为矩形，根据矩形的性质及相关条件可以得出△ABG≌△DCH，可以求出BG=CH的值，再由勾股定理就可以求出AG=DH的值，就可以求出BP的值，即可以求出结论t的值；
    （2）运用求分段函数的方法，分四种情况，当0＜t≤3，当3＜t≤4，4＜t≤7，7＜t≤8时，运用梯形的面积公式和三角形的面积公式就可以求出S的值；
    （3）先由条件可以求出EF=EQ=PQ-EP=4-
    1
    2
    t    ，分为三种情况：EF=EP时可以求出t值，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，可以求出t值，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，可以求出t值．
    解答：解：（1）如图2，作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分别为G、H，
    ∴四边形AGHD为矩形．
    ∵梯形ABCD，AB=AD=DC=5，
    ∴△ABG≌△DCH，
    ∴BG=
    1
    2
    （BC-AD）=3，AG=4，
    ∴当正方形PQMN的边MN恰好经过点D时，点M与点D重合，此时MQ=4，
    ∴GP=AQ=AD-DQ=1，BP=BG+GP=4，
    ∴t=4，即4秒时，正方形PQMN的边MN恰好经过点D；

    （2）如图1，当0＜t≤3时，BP=t，
    ∵tan∠DBC=
    1
    2
    ，tan∠C=tan∠ABC=
    4
    3
    ，
    ∴GP=
    1
    2
    t，PQ=
    4
    3
    t，BN=t+
    4
    3
    t=
    7
    3
    t，
    ∴NR=
    7
    6
    t，
    ∴S=
    (
    1
    2
    t+
    7
    6
    t)
    4
    3
    t
    2
    =
    10
    9
    t2    ；
    如图3，当3＜t≤4时，BP=t，
    ∴GP=
    1
    2
    t，PQ=4，BN=t+4，
    ∴NR=
    1
    2
    t+2，
    ∴S=
    (
    1
    2
    t+
    1
    2
    t+2)×4
    2
    =2t+4；
    如图4，当4＜t≤7时，BP=t，
    ∴GP=
    1
    2
    t，PQ=4，PH=8-t，BN=t+4，HN=t+4-8=t-4，
    ∴CN=3-（t-4）=7-t，
    ∴NR=
    28-4t
    3
    ，
    ∴S=
    (
    1
    2
    t+4)(8-t)
    2
    +
    (4+
    28-4t
    3
    )(t-4)
    2
    =-
    11
    12
    t2+
    28
    3
    t-
    22
    3
    ；
    如图5，当7＜t≤8时，BP=t，
    ∴GP=
    1
    2
    t，PQ=4，PH=8-t，
    ∴S=
    (
    1
    2
    t+4)(8-t)
    2
    +
    3×4
    2
    =-
    1
    4
    t2+22；
    ∴S=
    10
    9
    t2(0＜t≤3)
    2t+4(3＜t≤4)
    -
    11
    12
    t2+
    28
    3
    t-
    22
    3
    (4＜t≤7) 
    -
    1
    4
    t2+22(7＜t≤8)
    ；

    （3）∵∠PEF+∠QEF=180°=∠QDF+∠QEF，
    ∴∠PEF=∠QDF=2∠ADB=∠ABC，
    ∴cos∠ABC=cos∠PEF=
    3
    5
    ，
    由（1）可知EP=
    1
    2
    BP=
    1
    2
    t，
    则EF=EQ=PQ-EP=4-
    1
    2
    t    ，
    ①如图6，当EF=EP时，4-
    1
    2
    t=
    1
    2
    t，
    ∴t=4；
    ②如图7，当FE=FP时，作FR⊥EP，垂足为R，
    ∴ER=
    1
    2
    EP=
    3
    5
    EF，
    ∴
    1
    2
    •
    1
    2
    t=
    3
    5
    (4-
    1
    2
    t)    ，
    ∴t=
    48
    11
    ；
    ③如图8，当PE=PF时，作PS⊥EF，垂足为S，
    ∵ES=
    1
    2
    EF=
    3
    5
    PE，
    ∴
    1
    2
    （4-
    1
    2
    t）=
    3
    5
    •
    1
    2
    t    ，
    ∴t=
    40
    11
    ．
    ∴当t=4、
    48
    11
    或
    40
    11
    时，△PEF是等腰三角形．
    点评：本题是一道相似形综合试题，考查了动点问题的运用，等腰直角梯形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，分段函数的运用，等腰三角形的性质的运用．解答本题时求分段函数时灵活运用梯形的面积是关键．在第三问运用等腰三角形的性质解答是关键．
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    70
    70
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    110
    110
    °．

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    2
    		2
    2
    		2
    ．

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