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【题目】已知抛物线c1的顶点为A(﹣1,4),与y轴的交点为D(0,3).

(1)求c1的解析式;
(2)若直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,求m的值;
(3)若抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2 , 平行于x轴的直线记作l2:y=n.试结合图形回答:当n为何值时,l2与c1和c2共有:①两个交点;②三个交点;③四个交点;
(4)若c2与x轴正半轴交点记作B,试在x轴上求点P,使△PAB为等腰三角形.

【答案】
(1)

解:∵抛物线c1的顶点为A(﹣1,4),

∴设抛物线c1的解析式为y=a(x+1)2+4,

把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4得3=a+4,

∴a=﹣1,

∴抛物线c1的解析式为:y=﹣(x+1)2+4,即y=﹣x2﹣2x+3


(2)

解:解 得x2+3x+m﹣3=0,

∵直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,

∴△=9﹣4m+12=0,

∴m=


(3)

解:∵抛物线c1关于y轴对称的抛物线记作c2

∴抛物线c2的顶点坐标为(1,4),与y轴的交点为(0,3),

∴抛物线c2的解析式为:y=﹣x2+2x+3,

∴①当直线l2过抛物线c1的顶点(﹣1,4)和抛物线记作c2的顶点(1,4)时,即n=4时,l2与c1和c2共有两个交点;

②当直线l2过D(0,3)时,即n=3时,l2与c1和c2共有三个交点;

③当3<n<4或n>3时,l2与c1和c2共有四个交点


(4)

解:如图,∵若c2与x轴正半轴交于B,

∴B(3,0),

∴OB=3,

∴AB= =4

①当AP=AB=4 时,PB=8,

∴P1(﹣5,0),

②当AB=BP=4 时,

P2(3﹣4 ,0)或P3(3+4 ,0),

③当AP=PB时,点P在AB的垂直平分线上,

∴PA=PB=4,

∴P4(﹣1,0),

综上所述,点P的坐标为(﹣5,0)或(3﹣4 ,0)或(3+4 ,0)或(﹣1,0)时,△PAB为等腰三角形.


【解析】(1)设抛物线c1的解析式为y=a(x+1)2+4,把D(0,3)代入y=a(x+1)2+4即可得到结论;(2)解方程组得到x2+3x+m﹣3=0,由于直线l1:y=x+m与c1仅有唯一的交点,于是得到△=9﹣4m+12=0,即可得到结论;(3)根据轴对称的性质得到抛物线c2的解析式为:y=﹣x2+2x+3,根据图象即可刚刚结论;(4)求得B(3,0),得到OB=3,根据勾股定理得到AB= =4 ,①当AP=AB,②当AB=BP=4 时,③当AP=PB时,点P在AB的垂直平分线上,于是得到结论.

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