Question

【题目】如图1，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c(a≠0)与x轴交于A、B两点(A点在B点左侧)，与y轴交于点C(0，﹣3)，对称轴是直线x＝1，△ACB的外接圆M交y轴的正半轴与点D，连结AD、CM，并延长CM交x轴于点E．

(1)求抛物线的函数表达式和直线BC的函数表达式；

(2)求证：△CAD∽△CEB；

(3)如图2，P为x轴正半轴上的一个动点，OP＝t，(0＜t＜3)，过P点与y轴平行的直线交抛物线与点Q，若△QAD的面积为S，写出S与t的函数表达式，问：当t为何值时，△QAD的面积最大，且最大面积为多少？

Answer 1

【答案】（1），BC：；（2）见解析；（3），时，.

【解析】

（1）先根据图像得到a，c的值，进而可得到A、B两点的坐标，再求出函数解析式即可；（2）如图，连结AM，根据同弧所对的圆周角相等得到∠ADC＝∠ABC＝45°，根据圆周角定理可得∠AMC＝90°，进而得到∠ACE＝45°，所以∠ACD =∠ECB=45°-∠ECD，即可证明△ACD∽△ECB；（3）根据题意易得△AOF∽△APQ，再根据对应边成比例得到OF与PQ的关系，将Q点横坐标代入抛物线方程求出PQ的长度，进而求出OF的长度，再根据S＝S△ADF＋S△QDF求出S与t的函数表达式，再求出最大值即可.

解：（1）∵抛物线的对称轴是x＝1，

∴＝1，∴a=1

由图像易知c=-3，所以抛物线解析式为， B(3,0)，A(-1,0)，C（0，-3）

设直线BC的函数表达式为：y=kx+b，

则，解得：k=1，b=-3，

∴直线BC的解析式为 ；

（2）如图，连结AM，

∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，

∴∠ADC =∠OBC=45°，∠AMC＝90°，

又∵AM＝CM，∴∠ACE＝45°，

∴∠ACD =∠ECB=45°-∠ECD，

∴△ACD∽△ECB

（3）∵PQ∥y轴，∴△AOF∽△APQ，

∴.

∴，

∵PQ=，∴，

∴S＝S△ADF＋S△QDF＝

整理得，

化为顶点式得S＝﹣（t－）2＋，∴当 .