Question

2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=6，点P、Q分别在AC、BC边上，PQ∥AB．将线段PQ绕点P按逆时针方向旋转60°，得到线段PD，连接DQ．设PC=x．
（1）判断△PQD的形状，请说明理由．
（2）当x为何值时，点Q在∠CAB的平分线上？
（3）若△PQD与△ABC重叠部分图形的周长为T，求T与x之间的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：△PQD是等边三角形；
（2）点Q在∠CAB的平分线上，即AQ平分∠CAB，则∠CAQ=∠BAQ=30°，根据30°角的正切列式可求出x的值；
（3）先求出当点D在AB上时，如图2，x=2，分两种情况进行讨论：
①当0≤x≤2时，如图3，重叠部分是等边三角形PDQ，即T=6x；
②当2＜x＜6时，如图4，重叠部分是四边形EPQF，分别计算四边的长，相加可得T与x之间的函数关系式．

解答 解：（1）△PQD是等边三角形，理由是：
由旋转得：PQ=PD，∠QPD=60°，
∴△PQD是等边三角形；
（2）连接AQ，
当AQ平分∠CAB时，∠CAQ=∠BAQ=30°，
在Rt△ACQ中，tan30°=$\frac{CQ}{AC}$，
CQ=AC•tan30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2$\sqrt{3}$，
∵PQ∥AB，
∴∠PQC=∠B=30°，
在Rt△PCQ中，tan30°=$\frac{PC}{CQ}$，
PC=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=2，
即x=2，
则当x=2时，点Q在∠CAB的平分线上；
（3）当点D在AB上时，如图2，
在Rt△PCQ中，∠CQP=30°，PC=x，
∴PQ=2x，
∵∠CQP=30°，∠PQD=60°，
∴∠CQD=90°，
∴BD=2DQ=4x，
由勾股定理得：CQ=$\sqrt{3}$x，BQ=$\sqrt{（4x）^{2}-（2x）^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴BC=3$\sqrt{3}$x，
在Rt△ABC中，tan30°=$\frac{AC}{BC}$，
BC=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=6$\sqrt{3}$，
∴6$\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$x，
x=2，
此时T=3PQ=6x=12；
分两种情况：
①当0≤x≤2时，如图3，重叠部分是等边三角形PDQ，
此时，T=△PQD的周长=3PQ=6x，
②当2＜x＜6时，如图4，重叠部分是四边形EPQF，
∵PC=x，
∴AP=6-x，
∵∠CPQ=∠DPQ=60°，
∴∠APE=60°，
∵∠A=60°，
∴∠AEP=60°，
∴△AEP是等边三角形，
∴AP=AE=PE=6-x，
∵EF∥PQ，
∴∠DEF=∠DPQ=60°，∠DFE=∠DQP=60°，
∵∠D=60°，
∴△DEF是等边三角形，
∴DE=EF=DF=2x-（6-x）=3x-6，
∴QF=6-x，
∴T=PQ+FQ+EP+EF=2x+6-x+6-x+3x-6=3x+6，
综上所述，T与x之间的函数关系式为：T=$\left\{\begin{array}{l}{6x（0≤x≤2）}\\{3x+6（2＜x＜6）}\end{array}\right.$．

点评 本题是几何变换综合题，难度适中，考查的是旋转变换的性质、角平分线的性质、等边三角形的性质，本题的特殊角较多，利用了三角函数的特殊值列式求边长，同时采用了分类讨论的思想，并与图形相结合，先确定特殊位置时对应的x的值，才能确定其各种情况的取值范围．