Question

9．已知x₁，x₂是方程2x²+3x-4=0的两个根，那么：x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$；x₁x₂=-2；$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{3}{4}$；${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=$\frac{25}{4}$；（x₁+1）（x₂+1）=-$\frac{5}{2}$；|x₁-x₂|=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．

Answer 1

分析 根据根与系数的关系得到x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$；x₁x₂=-2，然后利用代数式表示得到$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$，${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1，|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$，再分别利用整体代入的方法计算．

解答 解：根题意得x₁+x₂=-$\frac{3}{2}$；x₁x₂=-2；
$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{-\frac{3}{2}}{-2}$=$\frac{3}{4}$；
${x}_{1}^{2}$+${x}_{2}^{2}$=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=$\frac{9}{4}$-2×（-2）=$\frac{25}{4}$；
（x₁+1）（x₂+1）=x₁x₂+x₁+x₂+1=-2-$\frac{3}{2}$+1=-$\frac{5}{2}$；
|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{3}{2}）^{2}-4×（-2）}$=$\frac{\sqrt{41}}{2}$．
故答案为-$\frac{3}{2}$；-2；$\frac{3}{4}$；$\frac{25}{4}$；-$\frac{5}{2}$；$\frac{\sqrt{41}}{2}$．

点评 若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．