Question

3．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，且满足BE=BC．连接CE并延长交AD于点F，连接AE，过B点作BG⊥AE于点G，延长BG交AD于点H．在下列结论中：
①AH=DF；
②∠AEF=45°；
③S_{四边形EFHG}=S_△DEF+S_△AGH，
其中正确的结论有（　　）

• A． ①
• B． ①②
• C． ①③
• D． ①②③

Answer 1

分析 先判断出∠DAE=∠ABH，再判断△ADE≌△CDE得出∠DAE=∠DCE=22.5°，∠ABH=∠DCF，再判断出Rt△ABH≌Rt△DCF从而得到①正确，根据三角形的外角求出∠AEF=45°，得出②正确；连接HE，判断出S_△EFH≠S_△EFD得出③错误．

解答 解：∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴∠ABE=∠ADE=∠CDE=45°，AB=BC，
∵BE=BC，
∴AB=BE，
∵BG⊥AE，
∴BH是线段AE的垂直平分线，∠ABH=∠DBH=22.5°，
在Rt△ABH中，∠AHB=90°-∠ABH=67.5°，
∵∠AGH=90°，
∴∠DAE=∠ABH=22.5°，
在△ADE和△CDE中$\left\{\begin{array}{l}{DE=DE}\\{∠ADE=∠CDE=45°}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CDE，
∴∠DAE=∠DCE=22.5°，
∴∠ABH=∠DCF，
在Rt△ABH和Rt△DCF中$\left\{\begin{array}{l}{∠BAH=∠CDF}\\{AB=CD}\\{∠ABH=∠DCF}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABH≌Rt△DCF，
∴AH=DF，∠CFD=∠AHB=67.5°，
∵∠CFD=∠EAF+∠AEF，
∴67.5°=22.5°+∠AEF，
∴∠AEF=45°，故①②正确；
如图，连接HE，

∵BH是AE垂直平分线，
∴AG=EG，
∴S_△AGH=S_△HEG，
∵AH=HE，
∴∠AHG=∠EHG=67.5°，
∴∠DHE=45°，
∵∠ADE=45°，
∴∠DEH=90°，∠DHE=∠HDE=45°，
∴EH=ED，
∴△DEH是等腰直角三角形，
∵EF不垂直DH，
∴FH≠FD，
∴S_△EFH≠S_△EFD，
∴S_{四边形EFHG}=S_△HEG+S_△EFH=S_△AHG+S_△EFH≠S_△DEF+S_△AGH，故③错误，
∴正确的是①②，
故选B．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出△ADE≌△CDE，难点是作出辅助线．