Question

如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线交AC于D，则下列结论：①∠C=72°；②BD是∠ABC的平分线；③图中共有3个等腰三角形；④AD²=CD•AC，其中正确的有（　　）

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

Answer 1

分析：根据等腰三角形的性质可求出∠C；分别得出∠ABC、∠ABD、∠CBD的度数即可判断②；利用两角法可确定等腰三角形的个数；证明△ABC∽△BDC可判断④．

解答：解：∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=72°；故①正确；

∵DM是AB的中垂线，
∴DA=DB，
∴∠DBA=∠A=36°，
∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=36°，
∴BD是∠ABC的平分线；故②正确；
等腰三角形有△ABC、△BDC、△DAB，共3个，故③正确；
∵∠CBD=∠A=36°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴

BD

AB

=

CD

BC

，即BD×BC=CD×AB，
又∵BD=BC=AD，AB=AC，
∴AD²=CD•AC．故④正确；
综上可得①②③④正确，共4个．
故选D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质及中垂线的性质，解答本题的关键是掌握各性质定理的内容，注意已经证明的结论在后面的证明过程可以直接使用．