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13.如图,在?ABCD中,AB=6,BC=10,对角线AC⊥AB,点E、F在BC、AD上,且BE=DF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形;
(2)①当四边形AECF是菱形时,求BE的长;
②当四边形AECF是矩形时,求BE的长.

分析 (1)首先根据平行四边形的性质可得AD∥BC,AD=BC,再证明AF=EC,可证明四边形AECF是平行四边形;
(2)①由菱形的性质得出AE=CE,得出∠EAC=∠ECA,由角的互余关系证出∠B=∠BAE,得出AE=BE,即可得出结果;
②由矩形的性质得出∠AEC=∠AEB=90°,证出△ABE∽△CBA,得出对应边成比例,即可求出BE的长.

解答 (1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,AD=BC,
∵BE=DF,
∴AF=EC,
∴四边形AECF是平行四边形;
(2)解:①∵四边形AECF是菱形,
∴AE=CE,
∴∠EAC=∠ECA,
∵AC⊥AB,
∴∠BAC=90°,
∴∠B+∠ECA=90°,∠BAE+∠EAC=90°,
∴∠B=∠BAE,
∴AE=BE,
∴BE=CE=$\frac{1}{2}$BC=5;
②∵四边形AECF是矩形,
∴∠AEC=90°,
∴∠AEB=90°=∠BAC,
∵∠B=∠B,
∴△ABE∽△CBA,
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BE}{AB}$,
∴BE=$\frac{A{B}^{2}}{BC}=\frac{{6}^{2}}{10}$=3.6.

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的性质、矩形的性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识;熟练掌握平行四边形的判定与性质,本题综合性强,灵活运用菱形和矩形的性质进行推理计算是解题关键.

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