Question

如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点．弦AB分别交OC、OD于点E、F，下列结论：①∠AOC=30°；②CE=DF；③∠AEO=105°；④AE=EF=FB．其中正确的有

①②③

．

Answer 1

分析：先根据OA⊥OB可知∠AOB=90°，再由C、D为弧AB的三等分点可求出∠AOC的度数；由三角形内角和定理求出∠OCD的度数，根据三角形外角的性质得出∠OEF及∠OFE的度数，由此即可得出结论；根据三角形内角和定理即可得出∠AEO的度数；连接AC，BD，可得出CD=AE=BF，由②可知EF∥CD，所以EF＜CD，故可得出结论．

解答：解：∵在⊙O中，半径OA⊥OB，C、D为弧AB的三等分点，
∴∠AOC=

1

3

∠AOB=

1

3

×90°=30°，故①正确；
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=45°，
∵∠AOC=∠BOD=30°，
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°，同理∠OFE=75°，
∴OE=OF，
∵OC=OD，
∴CE=DF，故②正确；
∵△AOE中，∠OAB=45°，∠AOC=30°，
∴∠AEO=180°-45°-30°=105°，故③正确；
连接AC，BD，
∵由②知，OC=OD，OE=OF，
∴EF∥CD，
∴EF＜CD，
∵C，D是

AB

的三等分点，
∴AC=CD=BD，
∵∠AOC=∠COD，OA=OC=OD，
∴△ACO≌△DCO．
∴∠ACO=∠OCD．
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°，∠OCD=

180°-30°

2

=75°，
∴∠OEF=∠OCD，
∴CD∥AB，
∴∠AEC=∠OCD，
∴∠ACO=∠AEC．
故AC=AE，
同理，BF=BD．
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：本题考查的是圆的综合题，涉及到等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理等知识，难度适中．