Question

（2012•襄阳）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC的中点，BC=2AD，EA=ED=2，AC与ED相交于点F．
（1）求证：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）当AB与AC具有什么位置关系时，四边形AECD是菱形？请说明理由，并求出此时菱形AECD的面积．

Answer 1

分析：（1）由AD∥BC，由平行线的性质，可证得∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，又由EA=ED，由等腰三角形的性质，可得∠EAD=∠EDA，则可得∠DEC=∠AEB，继而证得△DEC≌△AEB，即可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）由AD∥BC，BE=EC=AD，可得四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形，又由AB⊥AC，AE=BE=EC，易证得四边形AECD是菱形；过A作AG⊥BE于点G，易得△ABE是等边三角形，即可求得答案AG的长，继而求得菱形AECD的面积．

解答：（1）证明：∵AD∥BC，
∴∠DEC=∠EDA，∠BEA=∠EAD，
又∵EA=ED，
∴∠EAD=∠EDA，
∴∠DEC=∠AEB，
又∵EB=EC，
∴△DEC≌△AEB，
∴AB=CD，
∴梯形ABCD是等腰梯形．

（2）当AB⊥AC时，四边形AECD是菱形．
证明：∵AD∥BC，BE=EC=AD，
∴四边形ABED和四边形AECD均为平行四边形．
∴AB

∥

.

ED，
∵AB⊥AC，
∴AE=BE=EC，
∴平行四边形AECD是菱形．
过A作AG⊥BE于点G，
∵AE=BE=AB=2，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠AEB=60°，
∴AG=

3

，
∴S_菱形AECD=EC•AG=2×

3

=2

3

．

点评：此题考查了等腰梯形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的性质以及菱形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，注意数形结合思想的应用．