Question

17．如图，已知△ABC中，F是高AD和BE的交点，AD=BD，CD=4，AF=3，求DA的长．

Answer 1

分析 先证明∠FBD=∠DAC，从而利用ASA证明△BDF≌△ADC，利用全等三角形对应边相等就可得到结论．

解答 证明：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠FDB=90°，
∵AD=BD，
∴∠BAD=45°，
∴∠ABC=45°，
∵BE⊥AC，∴∠AEF=90°，
∴∠DAC+∠AFE=90°，
∵∠FDB=90°，
∴∠FBD+∠BFD=90°，
又∵∠BFD=∠AFE，
∴∠FBD=∠DAC，
在△BDF和△CDA中：
$\left\{\begin{array}{l}{∠FBD=∠CAD}\\{∠ADC=∠FDB}\\{BD=AD}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△ADC，
∴DF=CD，
∵CD=4，
∴DF=4，
∵AF=3，
∴AD=7．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，以及等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，能推出△FBD≌△CAD是解此题的关键．