Question

（1）比较下列各组数的大小，找规律，提出你的猜想：
______； ______； ______；　______； ______； ______ ．
从上面的各式发现一个正分数的分子和分母______，所得分数的值比原分数的值要______．
猜想：设a＞b＞0，m＞0，则______．
（2）试证明你的猜想：
（3）试用（1）中你归纳的数学关系式，解释下面生活中的一个现象：“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”．

Answer 1

解：（1）＜； ＜； ＜；　＜； ＜； ＜，
从上面的各式发现一个正分数的分子和分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大．
猜想：设a＞b＞0，m＞0，则＜；
（2）证明：∵a＞b＞0，m＞0，
∴b-a＜0，a+m＞0，
∴-=
=＜0，
则＜；
（3）“若m克糖水里含有n克糖，再加入k克糖（仍不饱和），则糖水更甜了”，理由为：
证明：m克糖水里含有n克糖，含糖率为，若再加入k克糖，含糖率为，
∵＜，
∴加入k克糖后含糖率变大，
则糖水更甜了．
故答案为：（1）＜；＜；＜；＜；＜；＜；都加上同一个正数；大；＜
分析：（1）将每一个右边的式子计算，两数通分后比较大小，即可判断出前面的数比后面的数小，由此总结得到一个正分数的分子分母都加上同一个正数，所得分数的值比原分数的值要大，利用式子表示出此规律即可；
（2）将所证式子前面的项减去后面的项，利用作差法即可得证；
（3）分别表示出加糖前的含糖率与加糖后的含糖率，利用得出的结论即可判断出加糖后含糖率变大，故糖水更甜了．
点评：此题考查了分式的混合运算的应用，属于探究型题，利用了作差法比较两数大小，其中分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母是多项式，应先将多项式分解因式后再约分．