Question

16．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t（s）（0＜t＜20）．

（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以点C为圆心，$\frac{1}{2}$t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．

Answer 1

分析 （1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10-2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t-10=10-（2t-10）+t，t=10；
（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）²=9t²．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10-2t=3t，t=2

如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t-10=10-（2t-10）+t，t=10，
综上所述，t=2s或10s时，点H落在AC边上．

（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）²=9t²

如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，
S=（3t）²-$\frac{1}{2}$（5t-10）²=-$\frac{7}{2}$t²+50t-50．

如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20-t）²-$\frac{1}{2}$（30-3t）²=-$\frac{7}{2}$t²+50t-50．

如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20-t）²=t²-40t+400．

综上所述，S=$\left\{\begin{array}{l}{9{t}^{2}}&{（0＜t≤2）}\\{-\frac{7}{2}{t}^{2}+50t-50}&{（2＜t≤10）}\\{{t}^{2}-40t+400}&{（10＜t＜20）}\end{array}\right.$．

②如图7中，当0＜t≤5时，$\frac{1}{2}$t+3t=15，解得t=$\frac{30}{7}$，此时S=100cm²，
当5＜t＜20时，$\frac{1}{2}$t+20-t=15，解得t=10，此时S=100，
综上所述，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm²

点评 本题考查圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．