Question

12．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别落在x轴、y轴正半轴上，点E在边OA上，点F在边OC上，且AE=EF，已知B（6，8），F（0，2$\sqrt{3}$ ）．

（1）求点E的坐标；
（2）点E关于点A的对称点为点D，点P从C点出发，以每秒1个单位的速度沿射线CB运动，设P点的运动时间为t秒，△PBD的面积为S，用含t的代数式表示S；
（3）在（2）的条件下，点M为平面内一点，点P在线段BC上运动时，作∠PDO的平分线交y轴于点N，t为何值时，四边形DPNM为矩形？并求此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）先确定出点A的坐标，进而得出OA，最后在Rt△OEF中，利用勾股定理求出OE即可得出点E的坐标；
（2）分两种情况，用三角形的面积公式即可解决问题；
（3）先利用对称求出点D的坐标，进而得出OD，由角平分线的性质定理得出DP=OD求出点P的坐标，进而求出直线PD，MD的解析式，再利用勾股定理求出点N的坐标，进而得出直线MN的解析式，联立直线DM和MN的解析式即可的结论．

解答 解：（1）在矩形OABC中，BC∥OA，B（6，8），
∴A（6，0），
∴OA=6，
设OE=a，
∴EF=AE=OA-OE=6-a，
∵F（0，2$\sqrt{3}$），
∴OF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△AEF中，根据勾股定理得，OE²+OF²=EF²，
∴a²+12=（6-a）²，
∴a=2，∴E（2，0）；

（2）由（1）知，E（2，0），
∴AE=4，
∵点D是点E关于点A的对称点，
∴D（10，0），
∵BC∥OA，B（6，8），OC=AB=8，
∴P（t，8），PB=|t-6|
①当点P在边BC上时，如图1，
∴0≤t＜6，
∴PB=6-t，
∴S=S_△PBD=$\frac{1}{2}$PB•OC=$\frac{1}{2}$×（6-t）×8=-4t+24，

②当点P在CB的延长时，如图2，
∴t＞6，
∴PB=t-6，
∴S=S_△PBD=$\frac{1}{2}$PB•OC=$\frac{1}{2}$×（t-6）×8=4t-24，
即：S=$\left\{\begin{array}{l}{-4t+24（0＜t＜6）}\\{4t-24（t＞6）}\end{array}\right.$，

（3）如图3，由（2）知，D（10，0），
∴OD=10，
∵四边形DPNM是矩形，
∴∠DPN=90°=∠DON，
∴NP⊥DP，NO⊥OD，
∵DN是∠PDO的平分线，
∴NO=NP，
在Rt△NDO和Rt△NDP中，$\left\{\begin{array}{l}{DN=DN}\\{NO=NP}\end{array}\right.$，
∴Rt△NDO和Rt△NDP（HL），
∴DP=OD=10，
∵P（t，8），D（10，0），
∴DP²=（t-10）²+64=100，
∴t=16（由于点P在线段BC上，所以舍去）或t=4，
∴P（4，8），
∵D（10，0），
∴DP的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+$\frac{40}{3}$，
∵DM⊥DP，
∴直线DM的解析式为y=$\frac{3}{4}$x-$\frac{15}{2}$①，
设N（0，n），
∴ON=n，
∴PN=n，CN=OC-ON=8-n，
∵P（4，8），
∴CP=4，
在Rt△CNP中，根据勾股定理得，CN²+CP²=PN²，
∴（8-n）²+16=n²，
∴n=5，
∴N（0，5），
∵PD∥NM，
∴直线NM的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+5②，
联立①②解得，x=6，y=-3，
∴M（6，-3）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，角平分线的性质定理，待定系数法，勾股定理，解（1）的关键是利用勾股定理求出OE，解（2）的关键是分两种情况讨论计算，解（3）的关键是求出点P的坐标．