Question

已知抛物线的函数关系式为：y=x²+2（a-1）x+a²-2a（a＜0），
（1）若点P（-1，8）在此抛物线上．
①求a的值；
②设抛物线的顶点为A，与y轴的交点为B，O为坐标原点，∠ABO=α，求sinα的值；
（2）设此抛物线与x轴交于点C（x₁，0）、D（x₂，0），x₁，x₂满足a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，且抛物线的对称轴在直线x=2的右侧，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）①将P点坐标代入抛物线的解析式中即可求出a的值；
②根据抛物线的解析式可求出A、B的坐标，过A作AH⊥y轴于H，则∠ABO=∠ABH=α，在Rt△ABH中，根据A、B的坐标，可求出AH、BH的长，即可求出α的正切值；
（2）求a的取值范围，可从两方面考虑：
①由于C、D是抛物线与x轴的交点，根据韦达定理即可得到x₁+x₂及x₁x₂的表达式，然后代值求解，即可得到a的取值范围；
②由于抛物线的对称轴在直线x=2的右侧，那么对称轴x=-（a-1）＞2，由此可求出另一个a的取值范围；
联立上述两种情况，即可求得a的取值范围．

解答：解：（1）①由题设：1-2（a-1）+a²-2a=8，
解得：a=-1或a=5（舍去）．
②y=x²-4x+3=（x-2）²-1，
∴A（2，-1），B（0，3）．
过A作y轴的垂线，垂足为H，则∠ABO=∠ABH=α．
在Rt△AHB中，AH=2，BH=4，
∴AB=2

5

，sinα=

AH

AB

=

5

5

；

（2）由题设x₁，x₂是方程x²+2（a-1）x+a²-2a=0的两根，
∴

x1+x2=2(1-a) x1x2=a2-2a

∵a（x₁+x₂）+2x₁x₂＜3，
∴2a（1-a）+2（a²-2a）＜3，解得a＞-

3

2

；
又抛物线的对称轴方程是x=1-a，
∴1-a＞2，
即a＜-1．
综上所述：a的取值范围是-

3

2

＜a＜-1．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、锐角三角形函数的定义、根与系数的关系等知识的综合应用能力．