【题目】若二次函数的图象与
轴的交点坐标分别为
,
,且
,图象上有一点
在
轴下方,对于以下说法:
①;②
是方程
的解;③
;
④.其中正确的是________.
【答案】①②④
【解析】
根据抛物线与x轴有两个不同的交点,根的判别式△>0,再分a>0和a<0两种情况对③④选项讨论即可得解.
①∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点坐标分别为(x1,0),(x2,0),∴△=b2﹣4ac>0,故本选项正确;
②∵点M(x0,y0)在二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象上,∴x=x0是方程ax2+bx+c=y0的解,故本选项正确;
③若a>0,则x1<x0<x2,若a<0,则x0<x1<x2或x1<x2<x0,故本选项错误;
④若a>0,则x0﹣x1>0,x0﹣x2<0,所以,(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0,若a<0,则(x0﹣x1)与(x0﹣x2)同号,∴a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0.
综上所述:a(x0﹣x1)(x0﹣x2)<0正确,故本选项正确.
故①②④正确.
故答案为:①②④.
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【题目】在自习课上,小明拿来如下框的一道题目(原问题)和合作学习小组的同学们交流.
如图1,已知△ABC,∠ACB=90°,∠ABC=45°,分别以AB,BC为边向外作△ABD与△BCE,且DA=DB,EB=EC,∠ADB=∠BEC=90°,连接DE交AB于点F.探究线段DF与EF的数量关系.
小红同学的思路是:过点D作DG⊥AB于点G,构造全等三角形,通过推理使问题得解.
小华同学说:我做过一道类似的题目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
请你参考小明同学的思路,探究并解决以下问题:
(1)写出原问题中DF与EF的数量关系为 .
(2)如图2,若∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°,原问题中的其他条件不变,你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想并加以证明.
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【题目】如图,中,
,
,
,点
从
点出发沿
路径向终点
以
的速度运动,同时点
从
点出发沿
路径向终点
以
的速度运动,两点都要到达相应的终点时才能停止运动.分别过
和
作
于
,
于
,则当运动时间
____________
时,
与去
全等.
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【题目】如图,三角形ABC中,A、B、C的坐标分别为A(﹣1,2),B(﹣3,﹣2),C(1,﹣1),将△ABC向上平移3个单位,再向右平移2个单位.
(1)作出平移后的△A1B1C1,并写出A1,B1,C1的坐标.
(2)求△A1B1C1的面积.
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【题目】如图,已知直角坐标平面上的,
,
,且
,
,
.若抛物线
经过
、
两点.
求
、
的值;
将抛物线向上平移若干个单位得到的新抛物线恰好经过点
,求新抛物线的解析式;
设
中的新抛物的顶点
点,
为新抛物线上
点至
点之间的一点,以点
为圆心画图,当
与
轴和直线
都相切时,联结
、
,求四边形
的面积.
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【题目】如图,△ABC是等腰三角形,AB=AC,点D是AB上一点,过点D作DE⊥BC交BC于点E,交CA延长线于点F.
(1)证明:△ADF是等腰三角形;
(2)若∠B=60°,BD=4,AD=2,求EC的长,
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