Question

10．矩形ABCD中，对角线AC和BD相交于O，∠AOB=60°，AC=10．
（1）求矩形较短边的长．
（2）矩形较长边的长．
（3）矩形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．
（2）在直角△ABC中，根据勾股定理来求BC的长度；
（3）由矩形的面积公式进行解答．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB
又∵∠AOB=60°
∴△AOB是等边三角形．
∴AB=OA=$\frac{1}{2}$AC=5，即矩形较短边的长为5；

（2）在直角△ABC中，∠ABC=90°，AB=5，AC=10，则BC=$\sqrt{A{C}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{1{0}^{2}-{5}^{2}}$=5$\sqrt{3}$．
即矩形较长边的长是5$\sqrt{3}$；

（3）矩形的面积=AB•BC=5×5$\sqrt{3}$=25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理．推知△AOB是等边三角形是求得AB边的关键．