Question

14．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边上一动点，以AD为斜边向右侧作等腰三角形ADE，连接CE．
（1）如图1，当D是BC边中点时，$\frac{CE}{AD}$的值是$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）如图2，当CD=CA时，判断CE与AD的数量关系并证明．
（3）当D是BC边任意一点时，（2）中的结论仍然成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由△ADE等腰直角三角形得出AD=$\sqrt{2}$AE=$\sqrt{2}$CE，故$\frac{CE}{AD}$的值为$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（2）证明△AEC≌△DEC，求出∠ACE=22.5°，∠EAC=22.5°，得到AE=CE，在等腰直角三角形△ADE中，AD=$\sqrt{2}$AE，则AD=$\sqrt{2}$CE；
（3）成立，作AF⊥BC，连接EF，易知A、E、D、F四点共圆，则∠EDC=∠EAF，证明△AEF≌△CEF，得出ED=EC，则AD=$\sqrt{2}$CE；

解答 解：（1）∵△ADE等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AE，
∵∠BAC=90°，AB=AC，D是BC边中点，
∴AE=CE，
∴AD=$\sqrt{2}$CE，
∴$\frac{CE}{AD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）AD=$\sqrt{2}$CE；
在△AEC和△DEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{CA=CD}\\{AE=DE}\\{CE=CE}\end{array}\right.$，
∴△AEC≌△DEC，
∴∠ACE=∠DCE=$\frac{1}{2}$∠ACD=22.5°，
∵CA=CD，∠ACD=45°，
∴∠CAD=67.5°，
∵∠EAD=45°，
∴∠EAC=22.5°，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=CE，
∵△ADE等腰直角三角形，
∴AD=$\sqrt{2}$AE，
∴AD=$\sqrt{2}$CE；
（3）成立；
作AF⊥BC，连接EF，
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴AF=CF，
∵∠AFC=∠AED=90°，
∴A、E、D、F四点共圆，
∴∠EDC=∠EAF，
∵AE=DE，
∴∠AFE=∠EFD
在△AFE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=CF}\\{∠AFE=∠EFD}\\{FE=FE}\end{array}\right.$，
∴△AFE≌△CFE，
∴∠FAE=∠FCE，
∴∠EDC=∠ECD，
∴ED=ED，
∵AD=$\sqrt{2}$DE，
∴AD=$\sqrt{2}$CE．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法以及等腰直角三角形的性质是解决问题的关键．