Question

如图，已知菱形ABCD，∠B=60°，△ADC内一点M满足∠AMC=120°，若直线BA与CM交于点P，直线BC与AM交于点Q，求证：P，D，Q三点共线．

Answer 1

分析：求证：P，D，Q三点共线就是证明平角的问题，可以求证∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，根据△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ，可以得出∠PAD=∠DCQ=60°；进而证明△PAD∽△DCQ，得出∠APD=∠CDQ，则结论可证．

解答：证明：连接PD，DQ，
由已知∠PAC=120°，∠QCA=120°，
∴△PAC∽△AMC，△AMC∽△ACQ．
∴

PA

AM

=

AC

MC

，

AC

AM

=

QC

MC

．
∴AC²=PA•QC，又AC=AD=DC．
∴

PA

DC

=

AD

QC

，又∠PAD=∠DCQ=60°，
∴△PAD∽△DCQ，∴∠APD=∠CDQ．
∴∠PDA+∠ADC+∠CDQ=180°，
∴P，D，Q三点共线．

点评：本题是证明三点共线的问题，这类题目可以转化为求证平角的问题．并且本题利用相似三角形的性质，对应角相等．