Question

已知：如图，在直角坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为2

2

的圆与y轴交于A、D两点．
（1）求点A的坐标；
（2）设过点A的直线y=x+b与x轴交于点B．探究：直线AB是否⊙M的切线并对你的结论加以证明；
（3）在（2）的前提下，连接BC，记△ABC的外接圆面积为S₁、⊙M面积为S₂，若

S1

S2

=

h

4

，抛物线y=ax²+bx+c经过B、M两点，且它的顶点到x轴的距离为h．求这条抛物线的解析式．

Answer 1

分析：（1）在Rt△AOM中根据勾股定理就可以求出OA的长，从而得到点A的坐标；
（2）把A点的坐标代入直线y=x+b的解析式，进而可以求出OA、OB、OM的长度，根据勾股定理可以得到AB、BM、AM的长度，根据勾股定理的逆定理就可以证出△ABM是直角三角形，得到直线AB是⊙M的切线；
（3）△ABC是直角三角形，BC是斜边，即外接圆的直径．在直角△ABC中，根据勾股定理就可以求出BC的长，就可以求出△ABC的外接圆面积S₁．⊙M面积为S₂容易得到．根据

S1

S2

=

h

4

就可以求出h的值，则得到抛物线的顶点的纵坐标，再根据y=ax²+bx+c经过B、M两点，利用待定系数法就可以求出函数的解析式．

解答：解：（1）由已知AM=

2

，OM=1，（1分）
在Rt△AOM中，AO=

AM2-OM2

=1，（2分）
∴点A的坐标为A（0，1）（3分）

（2）证法一：∵直线y=x+b过点A（0，1）
∴1=0+b，即b=1，
∴y=x+1，
令y=0，则x=-1，
∴B（-1，0），（4分）
AB=

BO2+AO2

=

12+12

=

2

在△ABM中，∵AB=

2

，AM=

2

，BM=2．
AB²+AM²=（

2

）²+（

2

）²=4=BM²（5分）
∴△ABM是直角三角形，∠BAM=90°，
∴直线AB是⊙M的切线．（6分）
证法二：由证法一得B（-1，0），（4分）
∵AO=BO=OM=1，AO⊥BM，
∴∠BAM=∠1+∠2=45°+45°=90°（5分）
∴直线AB是⊙M的切线．（6分）

（3）解法一：由（2）得∠BAC=90°，AB=

2

，AC=2

2

∴BC=

AB2+AC2

=

( 2 )2+(2 2 )2

=

10

∵∠BAC=90°，
∴△ABC的外接圆的直径为BC，
∴S1=(

BC

2

)2•π=(

10

2

)2•π=

5

2

π（7分）
而S2=(

AC

2

)2•π=(

2 2

2

)2•π=2π
∵

S1

S2

=

h

4

，即

5 2 π

2π

=

h

4

，
∴h=5（8分）
设经过点B（-1，0）、M（1、0）的抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-1），（a≠0）即y=ax²-a，
∴-a=±5，
∴a=±5，
∴抛物线解析式为y=5x²-5或y=-5x²+5．（9分）
解法二：（接上）求得
∴h=5（8分）
由已知所求抛物线经过点B（-1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，
由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）
∴抛物线解析式可设为y=a（x-0）²±5
∴B（-1，0）、M（1，0）在抛物线上，
∴a±5=0
∴a=?5
∴抛物线解析式为y=5x²-5或y=-5x²+5．（9分）
解法三：（接上）求得∴h=5（8分）
因为抛物线的方程为y=ax²+bx+（a≠0），由已知得

a+b+c=0 a-b+c+0 4ac-b2 4a =±5

解得

a=-5 b=0 c=5

或

a=5 b=0 c=-5.

∴抛物线解析式为y=5x²-5或y=-5x²+5．（9分）

点评：本题主要考查了切线的证明方法，以及待定系数法求函数解析式，计算量较大．