Question

如图，已知直线l₁：与直线 l₂：y=-2x+16相交于点C，直线l₁、l₂分别交x轴于A、B两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在l₁、l₂上，顶点F、G都在x轴上，且点G与B点重合。

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原地出发，沿x轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间t(0≤t≤12)秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围。

Answer 1

解：（1）由，得x=-4，

∴A点的坐标为（-4，0）

由-2x+16=0，得x=8

∴AB=8-(-4)=12

由，解得，

∴C点的坐标为（5，6），

∴;

(2)∵点D在l₁上且x_D=x_B=8，

∴，

∴D点的坐标为（8，8），

又∵点E在l₂上且y_E=y_D=8，

∴-2x_E+16=8，

∴x_E=4，

∴E点的坐标为（4，8），

∴DE=8-4=4，EF=8；

（3）①当0≤t<3时，如图（1），矩形DEFG与△ABC重叠部分为五边形CHFGR（当t=0时，为四边形CHFG）

过C作CM⊥AB于M，则Rt△RGB∽Rt△CMB，

∴，即，∴RG=2t，

∵，

∴，

即；

②当3≤t<8时，如图（2），矩形DEFG与△ABC重叠部分为梯形HFGR，过C作CM⊥AB于M，则Rt△ARG∽Rt△ACM，

∴，∴，∴，

又∵Rt△AHF∽Rt△ACM，

∴，∴，∴，

∴

即；

③当8≤t≤12时，如图（3），矩形DEFG与△ABC重叠部分为三角形AGR（当t=12时为一个点），过C作CM⊥AB于M，则Rt△ARG∽Rt△ACM，

∴,∴，∴，

∴.

试题主要考查对求二次函数的解析式及二次函数的应用，求一次函数的解析式及一次函数的应用，三角形的周长和面积，相似三角形的性质等。