分析 (1)过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证明△ADG是等边三角形,得出GD=AD=CE,再证明GH=AH,由ASA证明△GDF≌△CEF,得出GF=CF,即可得出结论;
(2)过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证出AH=GH=GD,AD=$\sqrt{3}$GD,由题意AD=$\sqrt{3}$CE,得出GD=CE,再证明△GDF≌△CEF,得出GF=CF,即可得出结论;
(3)过点D作DG∥BC,交AC于点G,先证出 DG=DH=AH,再证明△ADG∽△ABC,△ADG∽△DGH,△DGH∽△ABC,得出 $\frac{DG}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=m,$\frac{GF}{CF}$=$\frac{DG}{CE}$=$\frac{DG}{AD}$=m,△DGH∽△ABC,得出 $\frac{GH}{DG}$=$\frac{BC}{AB}$=m,$\frac{GH}{AH}$=m,证明△DFG∽△EFC,得出 $\frac{GF}{FC}$=$\frac{DG}{CE}$=m,$\frac{GH+GF}{AH+FC}$=m,$\frac{AH+FC}{HF}$=$\frac{1}{m}$,即可得出结果.
解答 (1)证明(选择思路一):过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图1所示:
则∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠ACB=60°,
∴∠ADG=∠AGD=∠A,
∴△ADG是等边三角形,
∴GD=AD=CE,
∵DH⊥AC,
∴GH=AH,
∵DG∥BC,
∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF,
在△GDF和△CEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{GD=CE}\\{∠DGF=∠ECF}\end{array}\right.$,
∴△GDF≌△CEF(ASA),
∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,
即HF=AH+CF;
(2)解:过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图2所示:
则∠ADG=∠B=90°,
∵∠BAC=∠ADH=30°,
∴∠HGD=∠HDG=60°,
∴AH=GH=GD,AD=$\sqrt{3}$GD,
根据题意得:AD=$\sqrt{3}$CE,
∴GD=CE,
∵DG∥BC,
∴∠GDF=∠CEF,∠DGF=∠ECF,
在△GDF和△CEF中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠GDF=∠CEF}\\{GD=CE}\\{∠DGF=∠ECF}\end{array}\right.$,
∴△GDF≌△CEF(ASA),
∴GF=CF,
∴GH+GF=AH+CF,
即HF=AH+CF,
∴$\frac{AC}{HF}$=2;
(3)解:$\frac{AC}{HF}$=$\frac{m+1}{m}$,理由如下:
过点D作DG∥BC,交AC于点G,如图3所示:
则∠ADG=∠B,∠AGD=∠ACB,AD=EC,
∵AB=AC,∠BAC=36°,
∴∠ACB=∠B=∠ADG=∠AGD=72°,
∵∠ADH=∠BAC=36°,
∴AH=GH,∠DHG=72°=∠AGD,
∴DG=DH=AH,△ADG∽△ABC,△ADG∽△DGH,
∴$\frac{DG}{AD}$=$\frac{BC}{AB}$=m,$\frac{GF}{CF}$=$\frac{DG}{CE}$=$\frac{DG}{AD}$=m,
∴△DGH∽△ABC,
∴$\frac{GH}{DG}$=$\frac{BC}{AB}$=m,
∴$\frac{GH}{AH}$=m,
∵DG∥BC,
∴△DFG∽△EFC,
∴$\frac{GF}{FC}$=$\frac{DG}{CE}$=m,
∴$\frac{GH+GF}{AH+FC}$=m,
即 $\frac{HF}{AH+FC}$=m,
∴$\frac{AH+FC}{HF}$=$\frac{1}{m}$,
∴$\frac{AC}{HF}$=$\frac{AH+FC+HF}{HF}$=$\frac{1}{m}$+1=$\frac{m+1}{m}$.
点评 本题是相似形综合题目,考查了等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识,本题难度较大,综合性强,特别是(2)(3)中,需要通过作辅助线证明三角形全等或三角形相似才能得出结果.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 经过有交通信号灯的路口,遇到红灯是随机事件 | |
B. | 某妇产医院里,下一个出生的婴儿是女孩是必然事件 | |
C. | 367人中至少有2人生日(公历)相同是确定事件 | |
D. | 长分别为3,5,9厘米的三条线段不能围成一个三角形是确定事件 |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | a-b<0 | B. | $\frac{a}{3}$<$\frac{b}{3}$ | C. | 1-a<1-b | D. | -1+a<-1+b |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{b}{a}$=$\frac{bm}{am}$ | B. | $\frac{b}{a}$=$\frac{{b}^{3}}{a}$ | C. | $\frac{ab}{{a}^{2}}$=$\frac{b}{a}$ | D. | $\frac{ab-1}{ac-1}$=$\frac{b-1}{c-1}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 4+3x=25 | B. | 3×4-3x=25 | C. | 3×4+3x=25 | D. | 3(4-x)=25 |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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科目:初中数学 来源: 题型:选择题
得分 | 80 | 85 | 87 | 90 |
人数 | 1 | 3 | 2 | 2 |
A. | 85、85 | B. | 85、86 | C. | 85、87 | D. | 90、86 |
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