【题目】我们定义:如图1,在中,把绕点顺时针旋转得到,把绕点逆时针旋转得到,连接.当时,我们称是的“旋补三角形”,边上的中线叫做的“旋补中线”.
(特例感知)
(1)在图2,图3中,是的“旋补三角形”,是的“旋补中线”.
①如图2,当为等边三角形,且时,则长为 .
②如图3,当,且时,则长为 .
(猜想论证)
(2)在图1中,当为任意三角形时,猜想与的数量关系,并给予证明.(如果你没有找到证明思路,可以考虑延长或延长,……)
(拓展应用)
(3)如图4,在四边形中,,,,以为边在四边形内部作等边,连接,.若是的“旋补三角形”,请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长.
【答案】(1)①,②;(2),见解析;(3),
【解析】
(1)①由旋补三角形的概念可证明△ADB′是含有30°是直角三角形,可得AD=BC即可解决问题;
②首先证明△BAC≌△B′AC′,根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题;
(2)结论:AD=BC.如图1中,延长AD到Q,使得AD=DQ,连接B′Q,C′Q,首先证明四边形AC′QB′是平行四边形,再证明△BAC≌△AB′Q,即可解决问题;
(3)由,是等边三角形可得,由旋补三角形的概念可得,PB=PA,进而求出PB的长,再根据勾股定理就可求出BC的长,由(2)的结论即可求出旋补中线PE的长和AD的长.
解:(1)①∵是的“旋补三角形”,
∴,,,
∵为等边三角形,且,
∴,,
∴是等腰三角形,,
∴AD⊥,,
∴AD=3,
②∵是的“旋补三角形”,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∵AD为中线,
∴;
(2)猜想:
如图,延长至Q,使.
∵是的“旋补中线”,.
四边形是平行四边形,
,.
由定义可知,,
,,,.
∵,;
(3)过点P作PE⊥AB,取AD的中点F,连接PF,延长DP,过点A作AM⊥DM,如图,
∵,△PCD是等边三角形,
∴,
∵CD=6,
∴PC=CD=PD=6,
∵是的“旋补三角形”,
∴,PB=PA,,
∴△PAB是等腰三角形,,
∵PE⊥AB,
∴EB=EA
∵AB=12,
∴BE=6,,
在△PBC中,由勾股定理得,
,
由(2)可知,,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,,
∴MD=12,
在△AMD中,由勾股定理得,
∴.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知为的直径,为延长线上的动点,过点作的切线,为切点, 为上的动点,连接交于点.
(1)当平分时,求证:;
(2)当是的中点时,求证:;
(3)当,且的周长被平分时,设,试求的值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在中,,点的坐标为,,、分别是射线、线段上的点,且,以、为邻边构造平行四边形,①若线段与交于点,当时,则_______;②把沿着进行折叠,当折叠后与的重叠部分的面积是平行四边形的时,则_______.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,直线l的函数表达式为y=x,点O1的坐标为(1,0),以O1为圆心,O1O为半径画圆,交直线l于点P1,交x轴正半轴于点O2;以O2为圆心,O2O为半径画圆,交直线l于点P2,交x轴正半轴于点O3;以O3为圆心,O3O为半径画圆,交直线l于点P3,交x轴正半轴于点O4;…按此做法进行下去,其中的长___________.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是一垂直于水平面的建筑物,某同学从建筑物底端出发,先沿水平方向向右行走米到达点再经过段坡度(或坡比)为坡长为米的斜坡到达点然后再沿水平方向向右行走米到达点均在同一平面内).在处测得建筑物顶端的仰角为求建筑物的高度. (参考数据:,)
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知△ABC中,AB=AC.
(1)把△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,使得点B的对应点E落在AB边上,用尺规作图的方法作出△DEC;(保留作图痕迹,不写作法)
(2)在(1)的条件下,连接AD,求证:AD=BC.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】有一只拉杆式旅行箱(图1),其侧面示意图如图2所示,已知箱体长AB=50cm,拉杆BC的伸长距离最大时可达35cm,点A,B,C在同一条直线上,在箱体底端装有圆形的滚筒轮⊙A,⊙A与水平地面相切于点D,在拉杆伸长到最大的情况下,当点B距离水平地面34cm时,点C到水平地面的距离CE为55cm.设AF∥ MN.
(1)求⊙A的半径.
(2)当人的手自然下垂拉旅行箱时,人感到较为舒服,某人将手自然下垂在C端拉旅行箱时,CE为76cm,∠CAF=64°,求此时拉杆BC的伸长距离(结果精确到1cm,参考数据:sin64°≈0.9,cos64°≈0.39,tan64°≈2.1).
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com