Question

（2010•达州）如图，△ABC中，CD⊥AB，垂足为D．下列条件中，能证明△ABC是直角三角形的有

①②④

（多选、错选不得分）．
①∠A+∠B=90°               
②AB²=AC²+BC²
③

AC

AB

=

CD

BD

                
④CD²=AD•BD．

Answer 1

分析：根据三角形内角和是180°、勾股定理、余弦函数、相似三角形的性质等来逐一判断各结论是否符合题意即可．

解答：解：①∵三角形内角和是180°，由①知∠A+∠B=90°，
∴∠ACB=180°-（∠A+∠B）=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形．故选项①正确．
②AB，AC，BC分别为△ABC三个边，由勾股定理的逆定理可知，②正确．
③题目所给的比例线段不是△ACB和△CDB的对应边，且夹角不相等，无法证明△ACB与△CDB相似，也就不能得到∠ACB是直角，故③错误；
④若△ABC是直角三角形，已知CD⊥AB，
又∵CD²=AD•BD，（即

CD

AD

= 

BD

CD

）
∴△ACD∽△CBD
∴∠ACD=∠B
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=∠B+∠DCB=90°
△ABC是直角三角形
∴故选项④正确；
故正确的结论为①②④．

点评：本题考查直角三角形的性质和勾股定理等知识的应用，只要利用直角三角形的这些特性加以判断即可．