Question

1．如图，在△ABC中，AB=AC，CM平分∠ACB，与AB交于点M，AD⊥BC于点D，ME⊥BC于点E，MF⊥MC与BC交于点F，求证：CF=4DE．

Answer 1

分析 取CF的中点N，则FC=2MN，过点M作MG∥BC交AD与G，交AC与H，过点H作HP⊥BC交BC与P．只要证明CF=2MN，四边形MNCH是菱形即可解决问题．

解答 解：取CF的中点N，则FC=2MN，过点M作MG∥BC交AD与G，交AC与H，过点H作HP⊥BC交BC与P．
∵ME⊥BC，AD⊥BC，AB=AC，
∴ME∥GD，BD=DC，
∵MG∥DE，
∴四边形MEDG是平行四边形，
∵∠MED=90°，
∴四边形MEDG是矩形，同理四边形GDPH是矩形，
∴ME=HP，易证△BME≌△CHP，
∴BE=CP，
∴DE=DP，
∴MH=EP=2DE
∵MN=CN，
∴∠NMC=∠NCM=∠MCH，
∴MN∥CH，∵MH∥CN，
∴四边形MNCH是平行四边形，
∵MN=CN，
∴四边形MNCH是菱形，
∴MN=MH
∴MN=2DE，
∴FC=4DE

点评 本题考查全等三角形的评判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．