分析 (1)连接OD,如图,根据平行线的性质得∠1=∠A,∠2=∠ODA,加上∠A=∠ODA,所以∠1=∠2,然后根据圆心角、弧、弦的关系可判断点E是$\widehat{BD}$的中点;
(2)先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°,然后根据切线的判定方法得到结论;
(3)连接BD,先根据垂径定理得到DG=FG,再利用圆周角定理得到∠ADB=90°,则可根据勾股定理计算出BD,然后利用面积法计算出DG,从而得到DF的长.
解答 (1)证明:连接OD,如图,
∵AD∥OC,
∴∠1=∠A,∠2=∠ODA,
∵OA=OD,
∴∠A=∠ODA,
∴∠1=∠2,
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$,即点E是$\widehat{BD}$的中点;
(2)证明:在△OCD和△OCB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠1=∠2}\\{OC=OC}\end{array}\right.$,
∴△OCD≌△OCB,
∴∠ODC=∠OBC=90°,
∴OD⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(3)解:连接BD,
∵DF⊥AB,
∴DG=FG,
∵AB为直径,
∴∠ADB=90°,
在Rt△ADB中,BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{{2}^{\;}}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16,
∵$\frac{1}{2}$•DG•AB=$\frac{1}{2}$•AD•BD,
∴DG=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$,
∴DF=2DG=$\frac{96}{5}$.
点评 本题考查了切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线.也考查了圆周角定理和垂径定理.
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