Question

17．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，弦DF⊥AB于点G．
（1）求证：点E是$\widehat{BD}$的中点；
（2）求证：CD是⊙O的切线；
（3）若AD=12，⊙O的半径为10，求弦DF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，如图，根据平行线的性质得∠1=∠A，∠2=∠ODA，加上∠A=∠ODA，所以∠1=∠2，然后根据圆心角、弧、弦的关系可判断点E是$\widehat{BD}$的中点；
（2）先证明△OCD≌△OCB得到∠ODC=∠OBC=90°，然后根据切线的判定方法得到结论；
（3）连接BD，先根据垂径定理得到DG=FG，再利用圆周角定理得到∠ADB=90°，则可根据勾股定理计算出BD，然后利用面积法计算出DG，从而得到DF的长．

解答 （1）证明：连接OD，如图，
∵AD∥OC，
∴∠1=∠A，∠2=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠1=∠2，
∴$\widehat{BE}$=$\widehat{DE}$，即点E是$\widehat{BD}$的中点；
（2）证明：在△OCD和△OCB中
$\left\{\begin{array}{l}{OD=OB}\\{∠1=∠2}\\{OC=OC}\end{array}\right.$，
∴△OCD≌△OCB，
∴∠ODC=∠OBC=90°，
∴OD⊥CD，
∴CD是⊙O的切线；
（3）解：连接BD，
∵DF⊥AB，
∴DG=FG，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD=$\sqrt{A{B}^{2}-A{D}^{{2}^{\;}}}$=$\sqrt{2{0}^{2}-1{2}^{2}}$=16，
∵$\frac{1}{2}$•DG•AB=$\frac{1}{2}$•AD•BD，
∴DG=$\frac{12×16}{20}$=$\frac{48}{5}$，
∴DF=2DG=$\frac{96}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线．也考查了圆周角定理和垂径定理．