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如图,在正方形ABCD中,点M是BC边上的任一点,连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,在CD边上取点P使CP=BM,连接NP,BP.

(1)求证:四边形BMNP是平行四边形;

(2)线段MN与CD交于点Q,连接AQ,若△MCQ∽△AMQ,则BM与MC存在怎样的数量关系?请说明理由.


1)证明:在正方形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠B,

在△ABM和△BCP中,

∴△ABM≌△BCP(SAS),

∴AM=BP,∠BAM=∠CBP,

∵∠BAM+∠AMB=90°,

∴∠CBP+∠AMB=90°,

∴AM⊥BP,

∵AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN,

∴AM⊥MN,且AM=MN,

∴MN∥BP,

∴四边形BMNP是平行四边形;

2)解:BM=MC.

理由如下:∵∠BAM+∠AMB=90°,∠AMB+∠CMQ=90°,

∴∠BAM=∠CMQ,

又∵∠B=∠C=90°,

∴△ABM∽△MCQ,

=

∵△MCQ∽△AMQ,

∴△AMQ∽△ABM,

=

=

∴BM=MC.


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