【题目】如图,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B(A左B右),与y轴交于C,直线y=﹣x+5经过点B、C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P为第二象限抛物线上一点,设点P横坐标为m,点P到直线BC的距离为d,求d与m的函数解析式;
(3)在(2)的条件下,若∠PCB+∠POB=180°,求d的值.
【答案】(1)y=﹣x2+x+5(2)d=m2﹣m(﹣2<m<0)(3)
【解析】
(1)首先求出B、C两点坐标,再利用待定系数法即可解决问题;
(2)如图1中,作PE⊥BC于E,作PF∥AB交BC于F.只要证明△PEF是等腰直角三角形,想办法求出PF(用m表示),即可解决问题;
(3)首先证明O、B、C、P四点共圆,推出∠CPB=∠COB=90°,可得PH=BC=,由P(m,﹣m2+m+5),H(,),可得(m﹣)2+(﹣m2+m+5﹣)2=,解方程去m,再利用(2)中结论即可解决问题.
(1)∵直线y=﹣x+5经过点B、C,
∴B(5,0),C(0,5),
把B、C坐标代入y=﹣x2+bx+c得到: ,
解得,
∴二次函数的解析式为y=﹣x2+x+5;
(2)如图1中,作PE⊥BC于E,作PF∥AB交BC于F.
∵P(m,﹣m2+m+5),
∵PF∥AB,
∴点F的纵坐标为﹣m2+m+5,
则有﹣m2+m+5=﹣x+5,
∴x=m2﹣m,
∴PF=m2﹣m﹣m=m2﹣m,
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠EFP=∠OBC=45°,∵PE⊥EF,
∴△PEF是等腰直角三角形,
∴d=PE=PF=m2﹣m(﹣2<m<0);
(3)如图2中,取BC的中点H,连接PH.
∵∠PCB+∠POB=180°,
∴O、B、C、P四点共圆,
∴∠CPB=∠COB=90°,
∴PH=BC=,
∵P(m,﹣m2+m+5),H(,),
∴(m﹣)2+(﹣m2+m+5﹣)2=,
整理得:m(m﹣5)(m2﹣m﹣2)=0,
解得m=0或5或﹣1或2,
∵P在第二象限,
∴m=﹣1,
∴d=m2﹣m=.
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【题目】如图是某一过街天桥的示意图,天桥高为米,坡道倾斜角为,在距点米处有一建筑物.为方便行人上下天桥,市政部门决定减少坡道的倾斜角,但要求建筑物与新坡角处之间地面要留出不少于米宽的人行道.
若将倾斜角改建为(即),则建筑物是否要拆除?()
若不拆除建筑物,则倾斜角最小能改到多少度(精确到)?
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【题目】小明的手机没电了,现有一个只含A,B,C,D四个同型号插座的插线板(如图,假设每个插座都适合所有的充电插头,且被选中的可能性相同),请计算:
(1)若小明随机选择一个插座插入,则插入A的概率为 ;
(2)现小明对手机和学习机两种电器充电,请用列表或画树状图的方法表示出两个插头插入插座的所有可能情况,并计算两个插头插在相邻插座的概率.
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【题目】一张面积为100cm2的正方形纸片,其正投影的面积可能是100cm2吗?可能是80cm2吗?可能是120cm2吗?试确定这张正方形纸片的正投影面积的取值范围.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的圆交AC于点D,交BC于点E,延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.
(1)求证:四边形ABFC是菱形;
(2)若AD=7,BE=2,求半圆和菱形ABFC的面积.
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【题目】如图,在等边中,,射线,点从点出发沿射线以的速度运动,同时点从点出发沿射线以的速度运动,设点运动的时间为.
(1)当点在线段上运动时,_________,当点在线段的延长线上运动时,_________(请用含的式子表示);
(2)在整个运动过程中,当以点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,求的值;
(3)求当_________时,,两点间的距离最小.
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【题目】如图,△ABC和△DEF关于点O成中心对称.
(1)作出它们的对称中心O,并简要说明作法;
(2)若AB=6,AC=5,BC=4,求△DEF的周长;
(3)连接AF,CD,试判断四边形ACDF的形状,并说明理由.
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【题目】如图是位于陕西省西安市荐福寺内的小雁塔,是中国早期方形密檐式砖塔的典型作品,并作为丝绸之路的一处重要遗址点,被列入《世界遗产名录》.小铭、小希等几位同学想利用一些测量工具和所学的几何知识测量小雁塔的高度,由于观测点与小雁塔底部间的距离不易测量,因此经过研究需要进行两次测量,于是在阳光下,他们首先利用影长进行测量,方法如下:小铭在小雁塔的影子顶端D处竖直立一根木棒CD,并测得此时木棒的影长DE=2.4米;然后,小希在BD的延长线上找出一点F,使得A、C、F三点在同一直线上,并测得DF=2.5米.已知图中所有点均在同一平面内,木棒高CD=1.72米,AB⊥BF,CD⊥BF,试根据以上测量数据,求小雁塔的高度AB.
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【题目】某水果店出售一种水果,经过市场估算,若每个售价为20元时,每周可卖出300个.经过市场调查,如果每个水果每降价1元,每周可多卖出25个,若设每个水果的售价为x元(x<20).
(1)则这一周可卖出这种水果为________个(用含x的代数式表示);
(2)若该周销售这种水果的收入为6400元,那么每个水果的售价应为多少元?
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