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    在△ABC中，BA=BC，∠BAC=α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
    （1）若α=60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；

    （2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线于射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
    （3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且
    PQ=QD，请直接写出α的范围．
    【答案】分析：（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ是等边三角形，即可得出答案；
    （2）首先利用已知得出△APD≌△CPD，进而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出；
    （3）由（2）得出∠CDB=90°-α，且PQ=QD，进而得出∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，得出α的取值范围即可．
    解答：解：（1）∵BA=BC，∠BAC=60°，M是AC的中点，
    ∴BM⊥AC，AM=MC，
    ∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ，
    ∴AM=MQ，∠AMQ=120°，
    ∴CM=MQ，∠CMQ=60°，
    ∴△CMQ是等边三角形，
    ∴∠ACQ=60°，
    ∴∠CDB=30°；

    （2）如图2，连接PC，AD，
    ∵AB=BC，M是AC的中点，
    ∴BM⊥AC，
    即BD为AC的垂直平分线，
    ∴AD=CD，AP=PC，PD=PD，
    在△APD与△CPD中，
    ∵，
    ∴△APD≌△CPD（SSS），
    ∴∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD，
    又∵PQ=PA，
    ∴PQ=PC，∠ADC=2∠1，∠4=∠PCQ=∠PAD，
    ∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°，
    ∴∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°，
    ∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α，
    ∴2∠CDB=180°-2α，
    ∴∠CDB=90°-α；

    （3）如图1，延长BM，CQ交于点D，连接AD，
    ∵∠CDB=90°-α，且PQ=QD，
    ∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α，
    ∵点P不与点B，M重合，
    ∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD，
    ∵点P在线段BM上运动，∠PAD最大为2α，∠PAD最小等于α”，
    ∴2α＞180°-2α＞α，
    ∴45°＜α＜60°．
    点评：此题主要考查了旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，得出∠APQ+∠ADC=360°-（∠PAD+∠PQD）=180°是解题关键．
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    （1）当x为何值时，PQ∥BC；
    （2）当
    S△BCQ
    S△ABC
    =
    1
    3
    ，求
    S△BPQ
    S△ABC
    的值；
    （3）△APQ能否与△CQB相似？若能，求出AP的长；若不能，请说明理由．

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    （1）当x为何值时，BP=CQ；
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    2
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    1
    2
    ABC）．以点B为旋转中心，将△BEC按逆时针旋转∠ABC，得到△BE′A（点C与点A重合，点E到点E′处）连接DE′，
    求证：DE′=DE．
    （2）如图2，在△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E是AC边上的两点，且满足∠DBE=
    1
    2
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    求证：DE2=AD2+EC2．

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