Question

6．如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，若CD=2cm，则AC=2+$2\sqrt{2}$（cm）．

Answer 1

分析 由∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，根据角平分线的性质，即可得CD=DE，又由在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，根据等腰三角形的性质，可求得AC=BC，∠B=45°，然后利用三角函数，即可求得AC的长．

解答 解：∵∠C=90°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，
∴DE=CD=2，
∵在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAB=∠B=45°，
∴∠EDB=∠B=45°，
∴sin∠B=sin45°=$\frac{DE}{BD}$=$\frac{2}{BD}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴BD=2$\sqrt{2}$，
∴AC=BC=CD+BD=2+$2\sqrt{2}$（cm），
故答案为：2+$2\sqrt{2}$（cm）．

点评 此题考查了角平分线的性质，等腰直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意角平分线定理的应用．