Question

如图，已知抛物线经过坐标原点，与x轴的另一个交点为A，且顶点M坐标为（1，2），
（1）求该抛物线的解析式；
（2）现将它向右平移m（m＞0）个单位，所得抛物线与x轴交于C、D两点，与原抛物线交于点P，△CDP的面积为S，求S关于m的关系式；
（3）当m=2时，点Q为平移后的抛物线的一动点，是否存在这样的⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用顶点式解析式设出抛物线解析式，然后把原点坐标代入进行计算即可得解；
（2）根据平移规律，先写出平移后的解析式的顶点坐标，然后写出平移后的抛物线解析式，与原抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标，根据抛物线的对称性求出OA的长度，然后根据平移的性质得到CD的长度，最后分①0＜m＜2时，点P在第一象限，②m＞2时，点P在第四象限，分别利用三角形的面积公式列式整理即可得解；
（3）假设存在点Q，根据抛物线的解析式设出点Q的坐标，然后根据点Q到x轴与y轴的距离相等解方程即可．

解答：解：（1）∵抛物线顶点坐标为（1，2），
∴设抛物线解析式为y=a（x-1）²+2，
又∵抛物线经过原点，
∴a（0-1）²+2=0，
解得a=-2，
∴抛物线的解析式为y=-2（x-1）²+2；

（2）抛物线向右平移m个单位，则顶点坐标为（1+m，2），
∴平移后的抛物线解析式为y=-2（x-1-m）²+2，
与原抛物线解析式联立得，

y=-2(x-1)2+2 y=-2(x-1-m)2+2

，
解得

x= m 2 +1 y=- m2 2 +2

，
又∵原抛物线的顶点坐标为（1，2），
∴点A、O关于直线x=1对称，
∴点A的坐标为（2，0），
∴AO=2，
∴CD=AO=2，
①0＜m＜2时，点P在第一象限，
S=

1

2

×2×（-

1

2

m²+2）=-

1

2

m²+2，
②m＞2时，点P在第四象限，
S=

1

2

×2×[-（-

1

2

m²+2）]=

1

2

m²-2；
综上所述，S关于m的关系式为S=

- 1 2 m2+2(0＜m＜2)  1 2 m2-2(m＞2)

；

（3）根据（2），当m=2时，平移后的抛物线解析式为y=-2（x-1-2）²+2=-2（x-3）²+2=-2x²+12x-16，
假设存在⊙Q，使得⊙Q与两坐标轴都相切，设点Q的坐标为（x，-2x²+12x-16），
则x=|-2x²+12x-16|，
∴x=-2x²+12x-16①或x=-（-2x²+12x-16）②，
整理①得，2x²-11x+16=0，
△=11²-4×2×16=121-128=-7＜0，
方程无解，
整理②得，2x²-13x+16=0，
解得x=

-b± b2-4ac

2a

=

13± 132-4×2×16

2×2

=

13± 41

4

，
∴当x=

13- 41

4

时，y=

-13+ 41

4

，
当x=

13+ 41

4

时，y=

-13- 41

4

，
∴点Q的坐标为（

13- 41

4

，

-13+ 41

4

）或（

13+ 41

4

，

-13- 41

4

）．

点评：本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求函数解析式，两函数图象交点的求解方法，三角形的面积，以及直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径的利用，综合性较强，难度较大，注意求解时需要分情况讨论．