Question

如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB=AC，过点A的直线交⊙O于D，交BC延长线于F，DE是BD的延长线，连接CD．
（1）求证：∠EDF=∠CDF；
（2）求证：AB²=AF•AD；
（3）若BD是⊙O的直径，且∠EDC=120°，BC=6cm，求AF的长．

Answer 1

（1）证明：根据切割线定理的推论可知：FD•FA=FC•FB
∵∠F=∠F，
∴△FDC∽△FBA，
∴∠CDF=∠ABC，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ADB=∠ACB（所对的弧相等）
∴∠ABC=∠ADB=∠EDF，
∴∠EDF=∠CDF；

（2）证明：由（1）已得出∠ADB=∠ABC，
∵∠BAD=∠FAB，
∴△BAD∽△FAB，
∴AD：AB=AB：AF
∴AB²=AF•AD；

（3）∵∠EDC=120°，
∴∠EDF=∠CDF=60°，
∴∠ACB=∠ADB=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABD=30°
Rt△ABD中，AB=6cm，∠ABD=30°，
∴AD=AB•tan30°=2

3

（cm），
由（2）知道：AB²=AF•AD，即6×6=AF×2

3

∴AF=6

3

（cm）．