Question

5．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-$\frac{1}{4}{x^2}$+bx+c经过点A（4，0）和B（0，2）
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，如果该抛物线的顶点为C，点B关于抛物线对称轴对称的点为D，求直线CD的表达式；
（3）在（2）的条件下，记该抛物线在点A，B之间的部分（含点A，B）为图象G，如果图象G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点A、B的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得它们的值；
（2）根据抛物线解析式求得顶点C的坐标，然后根据对称性得到点D的坐标；然后利用待定系数法求得直线CD的函数表达式；
（3）根据图示回答问题．

解答 解：（1）∵抛物线$y=-\frac{1}{4}{x^2}+bx+c$经过点A（4，0）和B（0，2）．
∴$\left\{\begin{array}{l}-\frac{1}{4}×{4^2}+4b+c=0\\ c=2\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}b=\frac{1}{2}\\ c=2\end{array}\right.$，
∴此抛物线的表达式为$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+2$．

（2）∵$y=-\frac{1}{4}{x^2}+\frac{1}{2}x+2=-\frac{1}{4}{（{x-1}）^2}+\frac{9}{4}$，
∴C（1，$\frac{9}{4}$）．
∵该抛物线的对称轴为直线x=1，B（0，2），
∴D（2，2）．
设直线CD的表达式为y=kx+b．
由题意得 $\left\{\begin{array}{l}k+b=\frac{9}{4}\\ 2k+b=2\end{array}\right.$，
解得 $\left\{\begin{array}{l}k=-\frac{1}{4}\\ b=\frac{5}{2}\end{array}\right.$，
∴直线CD的表达式为$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$．

（3）如图所示：当点B平移到线段B′B″的位置时，图象G向上平移m（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点．
∵B（0，2），B′（0，$\frac{5}{2}$），
则m_最小值=$\frac{5}{2}$-2=0.5．
把x=4代入$y=-\frac{1}{4}x+\frac{5}{2}$，得
y=1.5，
∴点（4，0）向上平移到（4，1.5）时，即图象G向上平移1.5（m＞0）个单位后与直线CD只有一个公共点，
综上所述，m的取值范围为：0.5＜m≤1.5．

点评 本题考查了二次函数图象与几何变换，待定系数法求一次函数、二次函数解析式．在求有关于平移的题目时，一定要数形结合，这样可以使抽象的问题变得具体化，降低了解题的难度与梯度．