Question

如图，PA为⊙O的切线，A为切点，PBC是过圆心O的割线，PA=10cm，PB=5cm，则弦AC的长是（　　）cm．

• A、15
• B、10

  3

• C、3

  5

• D、6

  5

Answer 1

分析：连接AB，利用切割线定理先求出PC，进而求出BC；在Rt△ABC中，利用勾股定理有BC²=AC²+AB²①；再利用弦切角定理，可知∠PAB=∠BAC，再加上一组公共角，可证△PAB∽△PCA，那么就有PC：AC=PA：AB②；两式联合可求AC．

解答：解：连接AB，根据切割线定理有，
PA²=PB•PC，
∴10²=5×（5+BC），
解得BC=15，
又∵∠PAB=∠PCA，∠APB=∠CPA，
∴△APB∽△CPA，
∴PA：AB=PC：AC，
∴10：AB=20：AC①；
∵BC是直径，
∴AB²+AC²=BC²，
∴AB²+AC²=15²②；
①②联立解得AC=6

5

．
故选D．

点评：本题利用了切割线定理、弦切角定理、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识．