Question

14．如图，点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上，过点A作x轴和y轴的平行线分别交函数y=$\frac{1}{x}$图象于点B、C，直线BC与坐标轴的交点为D、E．当点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上运动时，
（1）设点A横坐标为a，则点B的坐标为（$\frac{1}{4}$a，$\frac{4}{a}$），点C的坐标为C（a，$\frac{1}{a}$）（用含a的字母表示）；
（2）△ABC的面积是否发生变化？若不变，求出△ABC的面积，若变化，请说明理由；
（3）请直接写出BD与CE满足的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由条件可先求得A点坐标，从而可求得B点纵坐标，再代入y=$\frac{1}{x}$可求得B点与C点的坐标；
（2）可设出A点坐标，从而可表示出C、B的坐标，则可表示出AB和AC的长，可求得△ABC的面积；
（3）可证明△ABC∽△EFC，利用（2）中，AB和AC的长可表示出EF，可得到BG=EF，从而可证明△DBG≌△CFE，可得到DB=CF．

解答 解：（1）∵点A横坐标为a，点A在函数y=$\frac{4}{x}$（x＞0）图象上，
∴点A纵坐标为$\frac{4}{a}$，
∵AB∥x轴，AC∥y轴，
∴点B的纵坐标为：$\frac{4}{a}$，点C的横坐标a，
∴点B横坐标为：$\frac{1}{4}$a；点C的纵坐标为：$\frac{1}{a}$，
∴B点坐标为（$\frac{1}{4}$a，$\frac{4}{a}$），C（a，$\frac{1}{a}$）；
故答案为：（$\frac{1}{4}$a，$\frac{4}{a}$），C（a，$\frac{1}{a}$）；

（2）∵A（a，$\frac{4}{a}$），则C（a，$\frac{1}{a}$），B（$\frac{a}{4}$，$\frac{4}{a}$），
∴AB=a-$\frac{a}{4}$=$\frac{3}{4}$a，AC=$\frac{4}{a}$-$\frac{1}{a}$=$\frac{3}{a}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•AC=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{4}$a×$\frac{3}{a}$=$\frac{9}{8}$，
即△ABC的面积不发生变化，其面积为$\frac{9}{8}$；
（3）BD=CE，
如图，设AB的延长线交y轴于点G，AC的延长线交x轴于点F，

∵AB∥x轴，
∴△ABC∽△EFC，
∴$\frac{AB}{EF}$=$\frac{AC}{FC}$，即$\frac{\frac{3}{4}a}{EF}$=$\frac{\frac{3}{a}}{\frac{1}{a}}$，
∴EF=$\frac{1}{4}$a，
由（2）可知BG=$\frac{1}{4}$a，
∴BG=EF，
∵AE∥y轴，
∴∠BDG=∠FCE，
在△DBG和△CFE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BDG=∠FCE}\\{∠BGD=∠FEC}\\{BG=EF}\end{array}\right.$，
∴△DBG≌△CEF（AAS），
∴BD=CE．

点评 本题为反比例函数的综合应用，涉及函数图象的交点、平行线的性质、三角形的面积、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质等知识．要（1）中求得A点坐标是解题的关键，在（2）中用a表示出AB、AC的长是解题的关键，在（3）中证得BD=EC，构造三角形全等是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．